固定非负整数k时，证明∼ₖ是整数集上的等价关系及类数结论

没问题，我来一步步拆解这个问题，分两部分完成证明：先验证$\sim_k$是等价关系，再推导等价类的数量。

一、证明$\sim_k$是整数集$\mathbb{Z}$上的等价关系 #

要确认一个关系是等价关系，必须满足自反性、对称性和传递性三个核心性质，我们逐个验证：

1. 自反性 #

对任意整数$m \in \mathbb{Z}$，显然$m - m = 0$。不管$k$是0还是正整数，0都满足“能被$k$整除”的条件（当$k=0$时，等价于$m-n=0$，这里$m=m$自然成立）。因此$m \sim_k m$，自反性成立。

2. 对称性 #

假设$m \sim_k n$，根据定义，$m - n$能被$k$整除，也就是存在某个整数$t$，使得$m - n = kt$。那么$n - m = -kt = k(-t)$，而$-t$也是整数，所以$n - m$同样能被$k$整除，即$n \sim_k m$，对称性成立。

3. 传递性 #

如果$m \sim_k n$且$n \sim_k p$，那么根据定义可得：

• $m - n = kt_1$，其中$t_1 \in \mathbb{Z}$
• $n - p = kt_2$，其中$t_2 \in \mathbb{Z}$

把这两个式子相加，得到$m - p = (m - n) + (n - p) = kt_1 + kt_2 = k(t_1 + t_2)$。因为$t_1 + t_2$是整数，所以$m - p$能被$k$整除，即$m \sim_k p$，传递性成立。

综上，$\sim_k$满足等价关系的全部三个性质，因此它是$\mathbb{Z}$上的等价关系。

二、证明等价类数目$|\mathbb{Z}/\sim_k|$的结论 #

我们分两种情况讨论：

情况1：$k \geq 1$ #

当$k$是正整数时，根据整数的带余除法，任何整数$m$都可以唯一写成$m = qk + r$，其中$q$是整数，余数$r$满足$0 \leq r < k$。每个余数$r$对应一个等价类$[r] = { qk + r \mid q \in \mathbb{Z} }$，也就是模$k$的剩余类。

这些等价类互不相同：如果$0 \leq r_1 \neq r_2 < k$，那么$r_1 - r_2$的绝对值小于$k$且不为0，显然不能被$k$整除，所以$[r_1] \neq [r_2]$。总共有$k$个这样的等价类，因此$|\mathbb{Z}/\sim_k| = k$。

情况2：$k = 0$ #

当$k=0$时，根据定义，$m \sim_0 n$当且仅当$m - n$能被0整除。在整数的语境下，只有$m - n = 0$（也就是$m = n$）时满足这个条件，因为0乘以任何整数都是0，所以只有两个相等的整数才会满足$m-n$是0的倍数。

这意味着每个等价类只包含一个整数，即$[m] = {m}$。而整数集$\mathbb{Z}$是无限集，对应的等价类数目自然也是无限的，即$|\mathbb{Z}/\sim_0| = \infty$。

把两种情况合起来，就得到：
$$|\mathbb{Z}/\sim_k|=\begin{cases}k, & k ≥ 1 \ ∞, & k = 0\end{cases}$$

内容的提问来源于stack exchange，提问作者student