关于序列λ+∏ₖ=1ⁿ(φ(k)+1)无穷多无平方因子项的λ值问询

这是个很有意思的数论问题！我推荐的λ值是 λ = -1，下面是具体的分析和思路：

首先我们记原乘积序列为 ( P(n) = \prod_{k=1}^n (\phi(k)+1) )，那么对应的目标序列就是 ( P(n) - 1 )。

先看前几项的验证 #

我们可以计算前几项的情况，直观感受一下：

• n=1: ( P(1) = \phi(1)+1 = 2 )，( 2-1=1 )（有平方因子，但仅为第一项）
• n=2: ( P(2) = 2 \times (\phi(2)+1) = 4 )，( 4-1=3 )（无平方因子）
• n=3: ( P(3) = 4 \times (\phi(3)+1) = 12 )，( 12-1=11 )（无平方因子）
• n=4: ( P(4) = 12 \times (\phi(4)+1) = 36 )，( 36-1=35 = 5 \times 7 )（无平方因子）
• n=5: ( P(5) = 36 \times (\phi(5)+1) = 180 )，( 180-1=179 )（质数，无平方因子）
• n=6: ( P(6) = 180 \times (\phi(6)+1) = 540 )，( 540-1=539 = 7^2 \times 11 )（有平方因子，但属于个别情况）

核心思路分析 #

虽然目前没有完全严格的证明，但λ=-1是非常合理的候选，原因如下：

• 若原序列 ( P(n) ) 中的平方数是有限个（这正是你最初研究的问题方向），那么对于无穷多个n，( P(n) ) 不是平方数。此时要让 ( P(n)-1 ) 有平方因子，必须存在某个质数p使得 ( P(n) \equiv 1 \pmod{p^2} )。
• 由于 ( P(n) ) 是递增的乘积序列，增长速度很快，对于任意固定的质数p，( P(n) ) 模 ( p^2 ) 的值会随着n增大而不断变化，要满足 ( P(n) \equiv 1 \pmod{p^2} ) 需要乘积中的各项恰好“抵消”到1 mod ( p^2 )，这种情况出现的概率会越来越低。
• 当 ( P(n) ) 是平方数时，( P(n)-1 = (\sqrt{P(n)} - 1)(\sqrt{P(n)} + 1) )，这两个因子相差2，且互质（除了当 ( \sqrt{P(n)} ) 是奇数时，两者都是偶数，但最大公约数为2），因此只有当其中一个因子是2时才可能出现平方因子，而这样的情况只会发生在 ( P(n)=4 ) 时（对应n=2），其他平方数的 ( P(n)-1 ) 都是两个互质的数的乘积，不会有平方因子。

综上，λ=-1对应的序列 ( P(n)-1 ) 极有可能存在无穷多无平方因子项。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user243301