黎曼流形间哪些映射能保持形式的余恰当性？

嘿，我已经在MathOverflow上发布了这个问题，具体内容整理如下：

符号定义 #

• $\newcommand{\id}{\operatorname{Id}}$：用来简写恒等映射
• $\newcommand{\TM}{\operatorname{TM}}$：表示流形$\mathcal{M}$的切丛
• $\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}$：指代同态映射空间
• $\newcommand{\M}{\mathcal{M}}$：第一个$d$维定向黎曼流形
• $\newcommand{\R}{\mathbb{R}}$：实数域
• $\newcommand{\N}{\mathcal{N}}$：第二个$d$维定向黎曼流形
• $\newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}$：迹算子的简写
• $\newcommand{\TN}{\operatorname{T\N}}$：流形$\mathcal{N}$的切丛
• $\newcommand{\TstarM}{T^*\M}$：流形$\mathcal{M}$的余切丛

问题内容 #

设$\M,\N$为$d$维定向黎曼流形，$f:\M \to \N$为光滑映射，令$\delta=d^*$为余微分算子（注：原问题此处后续内容未补充完整）

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Asaf Shachar