利用ε构造矛盾：介值定理（IVT）证明中的疑问

咱们先把问题背景和你的推导理清楚：
给定连续函数$f$，满足$f(a) < y < f(b)$，定义集合$S = {x \in [a,b]: f(x) \leq y}$，要证明$f(\alpha) = y$，其中$\alpha = \text{Sup}(S)$。

你已经假设结论不成立的情况：若$f(\alpha) > y$，并且推导到：对$\forall\epsilon>0$，$\alpha-\epsilon$不是$S$的上界，因此存在$x_\epsilon \in S$使得$\alpha-\epsilon < x_\epsilon \leq \alpha$，进而有$f(x_\epsilon) \leq y$。你的核心疑问是：用$\forall\epsilon>0$能不能构造出矛盾？

答案是肯定的，咱们把矛盾点拆解清楚：

• 因为$f$在$\alpha$处连续，根据连续性定义：对任意$\delta > 0$，存在$\epsilon > 0$，当$|x - \alpha| < \epsilon$时，$|f(x) - f(\alpha)| < \delta$。
• 取$\delta = \frac{f(\alpha) - y}{2}$（这个值是正的，因为假设了$f(\alpha) > y$），根据连续性，存在$\epsilon_0 > 0$，当$x \in (\alpha - \epsilon_0, \alpha]$时，$f(x) > f(\alpha) - \delta = \frac{f(\alpha) + y}{2} > y$（毕竟$f(\alpha) > y$，这个中间值必然大于$y$）。
• 但另一方面，$\alpha$是$S$的上确界，对于这个$\epsilon_0$，$\alpha - \epsilon_0$不是$S$的上界，所以一定存在$x_0 \in S$满足$\alpha - \epsilon_0 < x_0 \leq \alpha$，而根据$S$的定义，$f(x_0) \leq y$。
• 这就直接产生矛盾了：从连续性推出$x_0$所在区间的所有点函数值都大于$y$，但$x_0$的函数值又小于等于$y$，显然不可能。

所以你用$\forall\epsilon>0$的思路完全正确，结合连续性定义就能构造出矛盾，从而推翻$f(\alpha) > y$的假设。

顺带补充一下，用同样的逻辑也能排除$f(\alpha) < y$的情况：如果$f(\alpha) < y$，根据连续性，存在$\epsilon>0$使得$(\alpha, \alpha+\epsilon)$内的点函数值都小于$y$，那$\alpha$就不再是$S$的上确界了，这也矛盾。因此最终只能是$f(\alpha)=y$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Jungleshrimp