无穷指标集下∪Y_F=Y的证明过程是否正确？

嘿，我来帮你看看这个证明的正确性，先把相关的定义和问题理清楚：

给定条件：

• 对于无穷指标集$I$里的每一个$i$，$X_i$都是非空集合，且固定$p_i\in X_i$；
• $F$是$I$的任意有限子集。

定义两个集合：
$$Y=\left{(x_i)\in\prod_i X_i\mid {i\in I:x_i\neq p_i} \text{ 是有限集}\right}$$
$$Y_F=\left{(x_i)\in\prod_i X_i\mid \text{所有 }i\notin F \text{ 都满足 }x_i=p_i\right}$$

我们需要证明的是：$\bigcup_{\substack{F\subset I \ F\text{有限}}} Y_F=Y$

你给出的证明开头是对的，但还不够完整——因为集合相等的证明需要验证双向包含（左边⊂右边，同时右边⊂左边），你目前只展开了左边到右边的第一步，我们来补全并确认正确性：

第一部分：证明 $\bigcup Y_F \subset Y$ #

你开头的思路没问题：假设$(x_i)\in\bigcup Y_F$，根据并集的定义，必然存在某个有限子集$F_0\subset I$，使得$(x_i)\in Y_{F_0}$。按照$Y_{F_0}$的定义，所有不在$F_0$里的$i$都满足$x_i=p_i$，那${i\in I:x_i\neq p_i}$最多就是$F_0$的子集，而$F_0$是有限集，所以这个集合肯定也是有限集，自然$(x_i)\in Y$。这部分你的方向完全正确，只是没写完。

第二部分：证明 $Y \subset \bigcup Y_F$ #

这是你没提到的关键另一半，也是证明集合相等必不可少的环节。假设$(x_i)\in Y$，根据$Y$的定义，$S={i\in I:x_i\neq p_i}$是个有限集。那我们直接取$F=S$（显然$F$是$I$的有限子集），此时所有不在$F$里的$i$都不属于$S$，也就是$x_i=p_i$，所以$(x_i)\in Y_F$，那它自然属于所有$Y_F$的并集$\bigcup Y_F$。

你的证明开头是正确的，但缺少了反向包含的证明步骤，把这部分补上之后，整个证明就严谨且正确了。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user486983