含4个未知数的线性方程组：高斯消元法及系数矩阵构造疑问

Hey Jonas, great question—let’s break this down clearly so you can move forward with your Gaussian elimination and determinant calculation.

核心结论：必须补充缺失未知数的0元素 #

你的方程组是4元线性方程组（包含$x_1$、$x_2$、$x_3$、$x_4$四个未知数），因此系数矩阵必须是4×4的方阵（每行对应一个方程，每列对应一个固定未知数的系数）。任何方程中未出现的未知数，其系数为0，必须明确写在矩阵的对应位置上——不能省略，否则矩阵的维度和变量对应关系会完全错误（你之前提到的4×3矩阵是不对的，应该是4×4系数矩阵，加上常数项的增广矩阵是4×5）。

正确的系数矩阵构造 #

根据你给出的方程组：

$$x_1-0.25x_2-0.25x_3=50$$
$$-0.25x_1+x_2-0.25x_4=50$$
$$-0.25x_1+x_3-0.25x_4=25$$
$$-0.25x_2-0.25x_3+x_4=25$$

我们为每个方程补充缺失未知数的0系数后，正确的系数矩阵$A$为：
$$A= \begin{pmatrix}
1 & -0.25 & -0.25 & 0 \
-0.25 & 1 & 0 & -0.25 \
-0.25 & 0 & 1 & -0.25 \
0 & -0.25 & -0.25 & 1
\end{pmatrix}$$

对应的增广矩阵（用于高斯消元求解）是在$A$的右侧添加常数项列：
$$\overline{A}= \begin{pmatrix}
1 & -0.25 & -0.25 & 0 & 50 \
-0.25 & 1 & 0 & -0.25 & 50 \
-0.25 & 0 & 1 & -0.25 & 25 \
0 & -0.25 & -0.25 & 1 & 25
\end{pmatrix}$$

后续计算提示 #

1. 行列式计算：对于这个4×4矩阵，推荐用高斯消元法将其转化为上三角矩阵——上三角矩阵的行列式等于对角线元素的乘积，这比直接展开代数余子式更高效。
2. 高斯消元求解：使用增广矩阵$\overline{A}$，通过行变换逐步消去主对角线下方的元素，最终得到行最简形，就能直接读出方程组的解。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Jonas Villa