度量空间中双射均为同胚时，证明所有子集既开又闭

先明确几个核心概念，方便后续推导：

• 设$(M, d)$是度量空间，同胚是指既是双射，又满足自身连续、逆映射也连续的映射；
• **既开又闭集（clopen）**就是同时属于开集和闭集的子集。

我们用反证法来证明这个结论：假设存在子集$A \subseteq M$，它不是clopen集——也就是说，$A$要么不是开集，要么不是闭集。下面我们分别分析这两种情况，都会导出和题设矛盾的结果。

情况1：$A$不是开集 #

如果$A$不是开集，根据度量空间的基本性质，它的补集$M \setminus A$就不是闭集（开集的补集必为闭集，反之亦然）。我们构造一个双射$g: M \to M$：

• 对于所有$x \in A$，让$g(x) = x$（保持不动）；
• 对于$M \setminus A$部分，因为它不是闭集，所以存在一个聚点$p$，而$p \notin M \setminus A$（也就是$p \in A$）。再取$M \setminus A$里任意一个点$q$，我们定义$g(p) = q$，$g(q) = p$，其余$M \setminus A$中的点都映射到自身。

这个$g$显然是双射，但它不连续：因为$p$是$M \setminus A$的聚点，所以存在$M \setminus A$中的点列${x_n}$收敛到$p$。但$g(x_n) = x_n$，这个点列收敛到$p$，而$g(p) = q$，根据度量的三角不等式，当$n$足够大时，$d(x_n, q) \geq d(p, q) - d(x_n, p) > d(p, q)/2 > 0$，也就是说${g(x_n)}$根本不收敛到$g(p)$。这就说明$g$在$p$点不连续，和题设“每个双射都是同胚”矛盾。

情况2：$A$不是闭集 #

如果$A$不是闭集，那它存在一个聚点$p$，而$p \notin A$。我们同样构造一个双射$g$：取$A$中任意一个点$q$，交换$p$和$q$的映射（也就是$g(p)=q$，$g(q)=p$），其余所有点都映射到自身。

这个$g$是双射，但同样不连续：因为$p$是$A$的聚点，存在$A$中的点列${x_n}$收敛到$p$，但$g(x_n)=x_n$收敛到$p$，而$g(p)=q$，显然${g(x_n)}$不收敛到$g(p)$，所以$g$不连续，又和题设矛盾。

结论 #

两种情况都导出了矛盾，说明我们的假设不成立——$M$中不存在不是clopen集的子集，也就是说$M$的每个子集都是既开又闭集。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者quadratripal