当n为偶数时∑ₖ=1ⁿ(-1)^k是否收敛？相关极限敛散性问询

咱们来一步步拆解你提出的这几个问题，把交错级数的收敛性和极限问题说清楚：

1. 求极限 $\lim_{n\rightarrow\infty} \sum^{2n}_{k=1} (-1)^k$ #

先直接计算这个前2n项的和：把每两项作为一组，也就是$(-1^1 + (-1)^2) + (-1^3 + (-1)^4) + ... + (-1^{2n-1} + (-1)^{2n})$，每组的结果都是$-1 + 1 = 0$，一共n组，所以整个求和式的结果恒为0。当$n\rightarrow\infty$时，这个极限就是$\lim_{n\rightarrow\infty} 0 = 0$，所以这个极限是存在的。

2. 当n为偶数时，级数$\sum_{k=1}^n (-1)^k$是否收敛？ #

这里要明确一个关键：级数收敛的定义是其部分和序列的极限存在，而你说的“n为偶数”只是部分和序列里的偶子列（即取n=2,4,6,...时的部分和）。单独看这个偶子列，每一项的结果都是0，但整个部分和序列是这样的：当n为奇数时，部分和是-1；当n为偶数时，部分和是0。这个序列一直在-1和0之间交替震荡，没有趋向于某个确定的常数，所以整个级数$\sum_{k=1}^\infty (-1)^k$是发散的，不能只看偶子列的情况就判定级数收敛。

3. 前2n项和的极限是否存在？对应级数收敛还是发散？ #

刚才已经分析过，前2n项和的极限是0，是存在的，但这只是部分和序列的偶子列的极限。而级数收敛要求的是整个部分和序列的极限存在，显然这个交错级数的部分和序列没有唯一的极限，所以对应级数$\sum_{k=1}^\infty (-1)^k$是发散的。

关于论证A的分析 #

你提到的论证A的改写思路是完全正确的：把前2n项两两分组后，每组的和都是0，所以前2n项的和就是n个0相加，结果恒为0，取极限后自然是0。但要注意，这个推导只针对前2n项的和（偶子列），不能用来证明整个级数收敛，因为级数收敛的判定标准是整个部分和序列的极限，而不是某个子列的极限。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Fabian Schn.