收敛序列绝对值乘收敛半径n次幂是否有界？二阶线性ODE幂级数解疑问

正在学习的命题内容 #

设$x_0$是微分方程$y''+p(x)y'+q(x)y=0$（式11）的寻常点，$a_0$和$a_1$为任意常数，则存在唯一函数$y(x)$，在$x_0$处解析，在该点的某邻域内是方程（11）的解，且满足初始条件$y(x_0)=a_0$和$y'(x_0)=a_1$。此外，若t...（内容未完）

关于收敛序列的疑问与解答 #

我最近在学习上述内容时，产生了一个疑问：收敛序列的绝对值乘以收敛半径的n次幂是否有界？

我来给你梳理下这个问题的结论，分情况讨论更清晰：

• 当收敛半径$R \leq 1$时：
  因为收敛序列${c_n}$必然有界（收敛数列的基本性质），设存在常数$M$使得$|c_n| \leq M$对所有$n$成立。
  • 若$R < 1$，$R^n$会随着$n$增大趋近于0，所以$|c_n| \cdot R^n \leq M \cdot R^n \leq M$，显然序列有界；
  • 若$R = 1$，$|c_n| \cdot 1^n = |c_n|$，本身就是有界的收敛数列绝对值，自然有界。
• 当收敛半径$R > 1$时：
  这时候就不一定了。比如取收敛序列$c_n = 1$（极限为1），那么$|c_n| \cdot R^n = R^n$，随着$n$增大会趋于无穷，序列无界；但如果$c_n$是趋于0的收敛序列，比如$c_n = (1/R)^n$，那$|c_n| \cdot R^n = 1$，是有界的。不过即使$c_n$趋于0，要是衰减速度赶不上$R^n$的增长速度（比如$c_n = 1/n$，$R=2$），$|c_n| \cdot R^n = 2^n/n$依然会趋于无穷，还是无界。

简单说：$R \leq 1$时，任意收敛序列对应的这个乘积序列一定有界；$R > 1$时，只有当序列${c_n}$的衰减速度足够快（快于$1/R^n$）时，乘积序列才会有界，否则无界。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Buster Bie