线性算子迹的良定义证明：有限维复向量空间问题

没问题，我们一步步来拆解这个证明——核心就是要说明：线性算子的迹和基的选择无关，不管选哪组基，算出来的矩阵迹都一样。

首先，先回忆基变换下的矩阵关系：假设α和β是V的两组基，设从α到β的过渡矩阵为P（简单说，P的列向量就是β中每个向量在α基下的坐标），那么线性算子T在这两组基下的矩阵满足：
[T]ᵝᵝ = P⁻¹[T]ᵅᵅP
这个公式是基变换的核心结论，你可以这么理解：要得到T在β基下的矩阵，得先把β的向量转成α基的坐标（用P⁻¹），应用T在α基下的矩阵，再转回到β基的坐标（用P）。

接下来，我们需要用到方阵迹的一个关键性质：对于任意两个n阶复方阵A和B，tr(AB) = tr(BA)。这个性质很直观，我们可以直接展开验证：
设A=(aᵢⱼ)，B=(bᵢⱼ)，那么AB的对角线元素是$\sum_{k=1}^n a_{ik}b_{ki}$，所以tr(AB)=$\sum_{i=1}^n \sum_{k=1}^n a_{ik}b_{ki}$；
而BA的对角线元素是$\sum_{k=1}^n b_{ik}a_{ki}$，tr(BA)=$\sum_{i=1}^n \sum_{k=1}^n b_{ik}a_{ki}$——这两个双重求和只是交换了求和变量的名字，结果完全相等。

现在把这两个结论结合起来：
我们要计算tr([T]ᵝᵝ)，代入基变换公式：
tr([T]ᵝᵝ) = tr(P⁻¹[T]ᵅᵅP)
根据迹的性质tr(AB)=tr(BA)，我们可以调整矩阵的结合顺序：
tr(P⁻¹([T]ᵅᵅP)) = tr( ([T]ᵅᵅP)P⁻¹ )
因为P⁻¹P是单位矩阵I，所以$([T]ᵅᵅP)P⁻¹ = [T]ᵅᵅ(P P⁻¹) = [T]ᵅᵅI = [T]ᵅᵅ$
最终得到：tr([T]ᵝᵝ) = tr([T]ᵅᵅ)

这样就证明了，不管选择V的哪组基，T对应的矩阵的迹都是相同的，也就是说tr(T)是良定义的。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Faust