线性相关向量组的线性映射存在性证明求解疑问

咱们先把已知条件再明确下：

• 向量组 $v_1,…,v_m$ 在向量空间 $V$ 中线性相关；
• 向量空间 $W$ 是非平凡的（也就是 $W≠{0}$）。

接下来按步骤推导：

1. 利用线性相关的定义
   因为 $v_1,…,v_m$ 线性相关，所以必然存在一组不全为零的标量 $a_1,a_2,…,a_m$，使得：
   $$a_1v_1 + a_2v_2 + … + a_mv_m = 0_V$$
   （这里 $0_V$ 是 $V$ 中的零向量）

2. 构造目标向量组 $w_1,…,w_m$
   既然 $W≠{0}$，我们随便取一个 $W$ 中的非零向量 $w$（肯定存在，因为 $W$ 不是只含零向量）。
   假设在刚才的标量里 $a_1≠0$（如果不是 $a_1$，换任意一个非零系数对应的位置就行，不影响结论），我们令：

• $w_1 = w$
• $w_2 = 0_W, w_3=0_W, …, w_m=0_W$
  （这里 $0_W$ 是 $W$ 中的零向量）

3. 反证法推导矛盾
   假设存在线性映射 $T∈\mathcal L(V,W)$，满足对所有 $k=1,…,m$，都有 $Tv_k = w_k$。那我们来计算 $T$ 作用在之前的线性组合上：

• 一方面，根据线性映射的性质，$T(0_V) = 0_W$，所以：
  $$T(a_1v_1 + a_2v_2 + … + a_mv_m) = T(0_V) = 0_W$$
• 另一方面，根据线性映射的线性性，我们可以把 $T$ 分配到每个项上：
  $$T(a_1v_1 + a_2v_2 + … + a_mv_m) = a_1Tv_1 + a_2Tv_2 + … + a_mTv_m$$
  代入我们构造的 $w_k$，就得到：
  $$a_1w + a_2·0_W + … + a_m·0_W = a_1w$$

现在矛盾就出来了：因为 $a_1≠0$，$w≠0_W$，所以 $a_1w≠0_W$，但我们刚才得到这个结果又等于 $0_W$，这显然不可能。

所以最开始的假设不成立——不存在这样的线性映射 $T$，这就证明了我们要的结论。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者BMSmudge