判断正误并证明或找反例：若{xₙ}的平方序列收敛则{xₙ}收敛

嘿，这个命题其实是错误的，咱们直接用反例就能说明问题，再结合你熟悉的收敛定义拆解下两者的关联～

直观反例 #

最经典的反例就是交替序列：xₙ = (-1)ⁿ

• 它的平方序列 xₙ² = [(-1)ⁿ]² = 1，这是个常数序列，显然收敛到1；
• 但原序列 xₙ 是 1, -1, 1, -1, ...，一直在1和-1之间来回跳，完全找不到一个固定的极限值，满足「当n足够大时，所有项都无限接近这个值」的收敛要求。

从收敛定义层面拆解逻辑 #

你已经掌握了ε-N收敛定义（序列收敛用N，函数极限才用δ哦），那咱们从定义角度看为啥平方收敛推不出原序列收敛：
序列收敛的定义是：对任意给定的ε>0，总能找到一个正整数N，当n>N时，|xₙ - a| < ε（a是原序列的极限）。
而平方序列收敛的定义是：对任意给定的ε>0，总能找到一个正整数N，当n>N时，|xₙ² - b| < ε（b是平方序列的极限）。

关键问题出在平方的代数性质上：|xₙ² - b| = |xₙ - √b|·|xₙ + √b|。这个式子的大小同时取决于|xₙ - √b|和|xₙ + √b|。如果原序列在√b和-√b之间交替取值，那|xₙ² - b|会始终等于0（比如反例里b=1，xₙ在1和-1跳，平方都是1），但原序列的项永远在两个值之间切换，不可能满足「无限接近某个单一极限a」的条件——比如取ε=0.5，你永远找不到一个N，让n>N时所有xₙ都离1小于0.5（因为奇数项是-1，离1的距离是2），同理也找不到这样的N让所有项离-1小于0.5。

简单说就是：平方收敛只约束了序列的绝对值收敛，但完全没限制符号，只要绝对值稳定，符号来回跳也不影响平方的收敛性，但原序列的极限就不存在了。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者czhang75