求证函数$f:\mathbb{R \to\mathbb{R}}, f(x)=|x|^{p}(p\geq1)$为凸函数：斜率准则应用咨询

嘿，我来一步步带你用斜率准则搞定这个证明。首先得把斜率准则的核心搞清楚，它说的是：一个定义在区间$I$上的函数$f$是凸函数，当且仅当对任意三个点$x_1 < x_2 < x_3 \in I$，连接$(x_1,f(x_1))$和$(x_2,f(x_2))$的线段斜率，小于等于连接$(x_2,f(x_2))$和$(x_3,f(x_3))$的线段斜率。用公式写就是：
$$
\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} \leq \frac{f(x_3) - f(x_2)}{x_3 - x_2}
$$

接下来我们分情况拆解这个问题，利用$f(x)$的偶函数性质能省不少事：

1. 先简化：利用偶函数性质聚焦$x\geq0$的情况 #

因为$f(-x)=|-x|^p=|x|p=f(x)$，$f$是偶函数，图像关于y轴对称。所以只要证明$f$在$[0,+\infty)$上是凸函数，就能直接推广到整个$\mathbb{R}$上。

当$x\geq0$时，$f(x)=x^p$（去掉绝对值后形式简洁多了），我们先对这个版本应用斜率准则。

2. 证明$x\geq0$时$f(x)=x^p$满足斜率准则 #

任取$0\leq x_1 < x_2 < x_3$，我们需要验证：
$$
\frac{x_2^p - x_1^p}{x_2 - x_1} \leq \frac{x_3^p - x_2^p}{x_3 - x_2}
$$

这里可以用代数恒等式来展开差商：对于$p\geq1$，$a^p - b^p=(a-b)(a{p-1}+a^{{p-2}b+\dots+ab}{p-2}+b^{p-1})$，所以左右两边的差商可以展开为：

• 左边：$\frac{x_2^p - x_1^p}{x_2 - x_1} = x_2^{p-1} + x_2^{p-2}x_1 + \dots + x_2x_1^{p-2} + x_1^{p-1}$
• 右边：$\frac{x_3^p - x_2^p}{x_3 - x_2} = x_3^{p-1} + x_3^{p-2}x_2 + \dots + x_3x_2^{p-2} + x_2^{p-1}$

因为$x_1 < x_2 < x_3$且$p-1\geq0$，所以$x_1^k x_2^{p-1-k} \leq x_2^k x_2^{p-1-k}=x_2{p-1}$，而$x_2^{p-1} \leq x_3^k x_2^{p-1-k} \leq x_3^k x_3^{p-1-k}=x_3{p-1}$。换句话说，左边展开式的每一项都小于等于右边展开式的对应项，所以左边的整体差商必然小于等于右边的差商，满足斜率准则。

如果你觉得代数展开太繁琐，也可以从单调性角度理解：当$p\geq1$时，$t\mapsto t^{{p-1}$在$t\geq0$时单调不减，这意味着差商$\frac{b}p - a^p}{b - a}$会随着$b$的增大而增大，随着$a$的增大而减小，自然满足$x_1<x_2<x_3$时的斜率不等式。

3. 推广到$x<0$的情况 #

对于任意$x_1 < x_2 < x_3 < 0$，令$y_1=-x_3$，$y_2=-x_2$，$y_3=-x_1$，则$0<y_1<y_2<y_3$，且$f(x_i)=f(y_i)$。

计算两个斜率：

• $\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2 - x_1} = \frac{f(y_2)-f(y_3)}{-y_2 + y_3} = \frac{f(y_3)-f(y_2)}{y_3 - y_2}$
• $\frac{f(x_3)-f(x_2)}{x_3 - x_2} = \frac{f(y_1)-f(y_2)}{-y_1 + y_2} = \frac{f(y_2)-f(y_1)}{y_2 - y_1}$

根据$x\geq0$时的结论，$\frac{f(y_2)-f(y_1)}{y_2 - y_1} \leq \frac{f(y_3)-f(y_2)}{y_3 - y_2}$，代入上面的式子就能得到$\frac{f(x_3)-f(x_2)}{x_3 - x_2} \leq \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2 - x_1}$，这完全符合斜率准则（因为$x_1<x_2<x_3$，左边斜率≤右边斜率）。

4. 处理跨正负的混合情况 #

最后考虑$x_1<0<x_3$的情况，分两种子情况：

• 情况1：$x_1<0=x_2<x_3$：计算斜率，左边是$\frac{f(0)-f(x_1)}{0-x_1}=\frac{0 - |x_1|^{p}{-x_1}=-\frac{(-x_1)}p}{-x_1}=-(-x_1)^{{p-1}$（负数），右边是$\frac{f(x_3)-f(0)}{x_3-0}=x_3}{p-1}$（正数），负数≤正数，不等式成立。
• 情况2：$x_1<x_2<0<x_3$或$x_1<0<x_2<x_3$：前者左边斜率≤0（分子$f(x_2)-f(x_1)=|x_2|^p-|x_1|p\leq0$，分母$x_2-x_1>0$），右边斜率>0，不等式成立；后者左边斜率<0，右边斜率>0，同样满足≤关系。

所有情况都验证通过，说明$f(x)=|x|^p$（$p\geq1$）满足斜率准则，因此是凸函数。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者paarth