求证：实数区间上满足(f(x))²=1的连续函数恒为1或-1

已知：设$I$为实数集$\mathbb{R}$上的一个区间，$f$是定义在$I$上取值于$\mathbb{R}$的连续函数，且满足：
$$(\forall x\in I)\quad (f(x))^{2}=1$$
求证：
$$(\forall x\in I)\quad f(x)=1 \quad \mbox{or} \quad (\forall x\in I)\quad f(x)=-1$$

核心思路拆解 #

首先从已知条件就能看出来，对$I$里的任意$x$，$f(x)$只能是1或者**-1**——毕竟平方等于1的实数只有这俩。现在要证的是，$f$不能在区间$I$上一会儿取1、一会儿取-1，必须全程固定一个值。

这里要用到连续函数的关键性质：实数区间上的连续函数，其值域一定也是区间（这是介值定理的直接推论）。

具体证明过程 #

咱们用反证法来证最直观：

• 假设存在两个点$x_1, x_2 \in I$，使得$f(x_1)=1$且$f(x_2)=-1$。
• 因为$I$是区间，所以$x_1$和$x_2$之间的所有实数都属于$I$（这是区间的定义：任意两点之间的点都在集合内）。
• 根据介值定理，对于介于1和-1之间的任意实数$c$（比如取$c=0$），必然存在某个$x_0$在$x_1$和$x_2$之间，使得$f(x_0)=c$。
• 但咱们知道$f(x)$只能取1或-1，根本不可能等于0，这就和介值定理矛盾了。

所以咱们的假设不成立——$f$不可能在$I$上同时取到1和-1，只能要么全程等于1，要么全程等于-1。

另一种用连通性的证法（拓扑视角） #

如果熟悉拓扑里的连通性，还可以这么严谨推导：

• 令$A = {x \in I \mid f(x)=1}$，$B = {x \in I \mid f(x)=-1}$，显然$A \cup B = I$，且$A$和$B$没有交集。
• 因为$f$是连续函数，单点集${1}$和${-1}$都是闭集，所以它们的原像$A$和$B$也都是闭集（连续函数保持闭集的原像）。
• 而实数集上的区间$I$是连通集，连通集的定义就是不能拆成两个非空、不交的闭集的并集。所以$A$和$B$里必有一个是空集，另一个就是整个$I$——也就是说$f$要么恒为1，要么恒为-1。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Educ