求函数f(x)=sin(x)cos(3x)的傅里叶级数，寻求三角恒等式解法

嘿，别头疼手动算那些繁琐的积分啦！你之前用二倍角公式处理$\sin(x)\cos(x)$的思路完全可以延伸过来，这次只需要用积化和差的三角恒等式就能轻松搞定，一步到位。

首先，记好这条关键的积化和差公式：

$\sin A \cos B = \frac{1}{2}\left[\sin(A+B) + \sin(A-B)\right]$

把$A=x$，$B=3x$代入进去：

• 先计算$A+B = x + 3x = 4x$，$A-B = x - 3x = -2x$
• 再利用正弦函数的奇偶性：$\sin(-\theta) = -\sin\theta$，所以$\sin(-2x) = -\sin2x$

代入公式后化简：

f(x) = \sin x \cos 3x = \frac{1}{2}\left[\sin4x + \sin(-2x)\right] = \frac{1}{2}\sin4x - \frac{1}{2}\sin2x

现在看这个结果：它本身就是$\sin2x$和$\sin4x$的线性组合，而正弦函数正是傅里叶级数在区间$[-\pi,\pi]$上的正交基函数。也就是说，这个化简后的式子直接就是$f(x)$的傅里叶级数，不需要再去计算那些积分系数啦！

最终的傅里叶级数就是：

F(x) = -\frac{1}{2}\sin2x + \frac{1}{2}\sin4x

是不是比手动算积分简单太多了？以后遇到这类乘积形式的三角函数，优先考虑积化和差或者和差化积公式，能省超多功夫～

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Joseph Aleshaiker