求证：素数p>3时p²≡1(mod24)，反证法思路待优化

嘿，你的反证法思路确实有点绕，其实咱们可以用模分解+中国剩余定理的方法来证明，这个路径更直接清晰～

核心思路：因为24 = 3 × 8，且3和8是互质的两个数，根据中国剩余定理，只要分别证明p² ≡ 1 (mod 3)和p² ≡ 1 (mod 8)，就能推导出p² ≡1 (mod24)。

1. 先证p² ≡ 1 (mod 3) #

由于p是大于3的素数，所以p肯定不能被3整除，那么p除以3的余数只能是1或者2：

• 如果p ≡1 (mod3)，那么p² ≡1²=1 (mod3)
• 如果p ≡2 (mod3)，那么p² ≡2²=4≡1 (mod3)
  两种情况都满足p² ≡1 (mod3)。

2. 再证p² ≡1 (mod8) #

大于3的素数必然是奇数（唯一的偶素数是2，不符合大于3的条件），咱们把奇数p写成p=2k+1（k是整数），展开平方：

p² = (2k+1)² = 4k² +4k +1 =4k(k+1)+1

注意k和k+1是连续整数，所以其中必有一个是偶数，也就是说k(k+1)是2的倍数，那么4k(k+1)就是4×2=8的倍数，因此4k(k+1)≡0 (mod8)，代入上式就得到：
p² ≡0 +1=1 (mod8)

3. 合并两个结论 #

因为p²同时满足模3余1和模8余1，而3和8互质，所以根据中国剩余定理，p²必然满足模3×8=24余1，也就是p²≡1(mod24)。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者wavilson ferreira