连续函数介值性证明：存在ξ使f(ξ)等于两函数值平均值

问题描述 #

已知函数 $f \in C\left[a,b\right]$（即$f$在闭区间$[a,b]$上连续），且 $a < x_1 < x_2 < b$，求证：存在 $\xi \in (a,b)$，使得 $f(\xi) = \frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}$。

完整证明过程（基于你的尝试补充完善） #

我们可以按以下步骤完成证明：

• 先做简化假设：不失一般性，设 $f(x_1) \geq f(x_2)$。
• 对不等式进行变形推导：
  $$2f(x_1) \geq f(x_1) + f(x_2) \geq 2f(x_2)$$
  两边同时除以2，令 $k = \frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}$，可得：
  $$f(x_1) \geq k \geq f(x_2)$$
• 应用介值定理：因为 $f$ 在子区间 $[x_1,x_2]$ 上连续（连续函数在闭子区间上保持连续性），而 $k$ 恰好介于 $f(x_1)$ 和 $f(x_2)$ 的函数值之间，根据介值定理，必然存在 $\xi \in (x_1, x_2)$，使得 $f(\xi) = k$。
• 最后确认范围：由于 $(x_1,x_2) \subset (a,b)$，因此 $\xi \in (a,b)$，完全符合题目的结论要求。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Zduff