求证映射L:C([0,1])→C([0,1])：我是否完成Lu连续性证明？

你的初始推导已经抓住了核心逻辑，但还没完成最后的收尾，我来帮你补全剩余步骤并说明：

首先，你已经完成的推导是：
\begin{align*}
|Lu(t)-Lu(t')| &= \left|\frac{1}{2}\int_0^1e{-u(x)}(x+t),dx -\frac{1}{2}\int_0^1e{-u(x)}(x+t'),dx ,\right| \
&=\left|\frac{1}{2}\int_0^1e{-u(x)}(t-t'),dx,\right|\
&\leq \frac{1}{2}|t - t'| \int_0^1 e^{-u(x)} dx
\end{align*}

接下来需要补充关键的收尾步骤：

• 因为$u \in C([0,1])$，而闭区间上的连续函数必有界，所以存在常数$M > 0$，使得$|u(x)| \leq M$对所有$x \in [0,1]$成立。
• 由此可得$e^{-u(x)} \leq e^{|u(x)|} \leq e^{M$，因此积分$\int_0}1 e^{-u(x)} dx$是一个有限的固定常数（我们可以记这个常数为$K$）。

把这个结论代入之前的不等式，就能得到：
$$|Lu(t)-Lu(t')| \leq \frac{K}{2} |t - t'|$$

最后用连续函数的$\epsilon-\delta$定义验证：
对于任意给定的$\epsilon > 0$，取$\delta = \frac{2\epsilon}{K}$，当$|t - t'| < \delta$时，必然有$|Lu(t)-Lu(t')| < \epsilon$。这完全符合$[0,1]$上连续函数的定义，也就证明了$Lu$是$[0,1]$上的连续函数。

总结来说：你的推导已经完成了最核心的变形，只差结合连续函数的有界性和最后的$\epsilon-\delta$验证，就能完整证明$L$是从$C([0,1])$到自身的映射。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Mathaniel