二阶可导凹函数积分不等式证明求助：∫₀¹f(x²)dx ≤ f(1/3)

嘿，我来帮你搞定这个证明～你已经找对了核心方向——用泰勒展开，但这里有个关键细节需要调整，咱们一步步来：

第一步：修正泰勒展开的余项形式 #

你之前写的泰勒展开把二阶导数固定在了1/3处，其实应该用拉格朗日型余项才对：对于任意x∈[0,1]，存在ξ介于1/3和x²之间，使得：

f(x²) = f(1/3) + f'(1/3)(x² - 1/3) + (1/2)f''(ξ)(x² - 1/3)²

题目给出了f''(x)≤0，而(x² - 1/3)²是非负的，所以余项这一项必然满足：
(1/2)f''(ξ)(x² - 1/3)² ≤ 0

由此我们可以得到一个关键不等式：
f(x²) ≤ f(1/3) + f'(1/3)(x² - 1/3)

第二步：对不等式两边积分 #

现在把这个不等式在区间[0,1]上积分，左边就是题目要处理的积分项，右边拆成两项分别计算：
∫₀¹f(x²)dx ≤ ∫₀¹[f(1/3) + f'(1/3)(x² - 1/3)]dx

逐个计算右边的积分：

1. 第一项：∫₀¹f(1/3)dx = f(1/3)×(1-0) = f(1/3)
2. 第二项：先计算积分内核∫₀¹(x² - 1/3)dx，其中∫₀¹x²dx = 1/3，∫₀¹1/3dx = 1/3，所以：
   ∫₀¹(x² - 1/3)dx = 1/3 - 1/3 = 0
   因此第二项积分结果为f'(1/3)×0 = 0

把两项结果加起来，右边整体就是f(1/3) + 0 = f(1/3)，最终就得到了：
∫₀¹f(x²)dx ≤ f(1/3)

补充：更快捷的Jensen不等式思路 #

其实这个结论也可以用凹函数的性质直接推导：因为f''(x)≤0说明f是凹函数，根据Jensen不等式，对于凹函数有E[f(X)] ≤ f(E[X])。如果把X看作[0,1]上的均匀随机变量，那么E[X²] = ∫₀¹x²dx = 1/3，代入后直接得到：
∫₀¹f(x²)dx = E[f(X²)] ≤ f(E[X²]) = f(1/3)

两种方法都能得到结论，你的泰勒展开思路只要修正余项形式就能顺利走通啦～

内容的提问来源于stack exchange，提问作者inevitable