关于平直时空非洛伦兹坐标变换（林德勒坐标）的概念问题求助

我一直搞不清平直时空里非洛伦兹坐标变换的相关概念，真心恳请各位帮我指出我的错误。下面是我在1+1维狭义相对论中转换到林德勒坐标的推导：

$$ x^\mu = \begin{pmatrix} t \ x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} X\sinh[\alpha \tau] \ X \cosh[\alpha \tau]\end{pmatrix}. $$

接下来我尝试计算四速度：

$$ v^\mu = \frac{dx^{\mu}}{d\tau} = \begin{pmatrix} \frac{dt}{d... \end{pmatrix} $$

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Matta