证明A={(3x,y)|x,y∈Z}是Z⊕Z的极大理想：直接证商群为域

没问题！我来帮你直接构造乘法逆元，不用依赖同构方法来证明$(ℤ⊕ℤ)/A$是域。首先得明确一个前提：要让这个商环是域，$A$必须是$ℤ⊕ℤ$的极大理想（交换含幺环的商环是域当且仅当对应的理想是极大的，这是环论里的基础结论）。而$ℤ⊕ℤ$的极大理想只有两种典型形式，我们分别针对这两种情况构造逆元：

情况1：$A = pℤ⊕ℤ$，其中$p$是素数 #

商环里的每个等价类$(a,b)+A$，本质上由$a$模$p$的结果决定（第二个分量$b$可以是任意整数，不影响等价类）。

取任意非零等价类$(a,b)+A$（也就是$(a,b)∉A$），这意味着$a \not\equiv 0 \pmod{p}$——如果$a$是$p$的倍数，不管$b$是什么，$(a,b)$都会属于$A$。

我们的目标是找到$(c,d)∈ℤ⊕ℤ$，使得$(a,b)*(c,d) ≡ (1,1) \pmod{A}$，也就是：
$$(ac - 1, bd - 1) ∈ A$$
根据$A$的定义，这个条件拆解为两点：

• $ac - 1$必须是$p$的倍数（即$ac ≡ 1 \pmod{p}$）
• $bd - 1$是整数——这本来就成立，因为$bd$和$1$都是整数，差必然是整数

因为$a$不是$p$的倍数，而$ℤ/pℤ$是域，所以一定存在整数$c$满足$ac ≡ 1 \pmod{p}$（你可以用扩展欧几里得算法找到这个$c$）。然后随便选一个$d$（比如直接取$d=1$），这样$(c,d)$就满足要求了：
$$(a,b)*(c,d) = (ac, b)$$
其中$ac - 1$是$p$的倍数，$b - 1$是整数，所以$(ac - 1, b - 1) ∈ pℤ⊕ℤ = A$，也就是$(ac,b) ≡ (1,1) \pmod{A}$。

所以$(c,d)+A$就是$(a,b)+A$的乘法逆元。

情况2：$A = ℤ⊕pℤ$，其中$p$是素数 #

这和情况1完全对称：

非零等价类$(a,b)+A$意味着$b \not\equiv 0 \pmod{p}$。我们需要找$(c,d)$使得$(ac - 1, bd - 1) ∈ A$，拆解后：

• $ac - 1$是整数——天然成立
• $bd - 1$必须是$p$的倍数（即$bd ≡ 1 \pmod{p}$）

同样，因为$b$不是$p$的倍数，存在整数$d$满足$bd ≡ 1 \pmod{p}$，取$c=1$，则$(1,d)$满足条件：
$$(a,b)*(1,d) = (a, bd)$$
其中$a - 1$是整数，$bd - 1$是$p$的倍数，所以$(a - 1, bd - 1) ∈ ℤ⊕pℤ = A$，即$(a,bd) ≡ (1,1) \pmod{A}$。

所以$(1,d)+A$就是$(a,b)+A$的乘法逆元。

这样我们就直接为任意非零元素找到了逆元，证明了$(ℤ⊕ℤ)/A$是域。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Sorfosh