求证拟多项式$x^{\ln x}$增长速度快于任意实系数多项式

你的思路方向完全正确——只要证明$\lim_{x \to \infty} \frac{x^a}{x{\ln x}} = 0$，就能说明$x^{\ln x}$的增长速度远超任意常规多项式$x^a$。不过你之前的变形有点绕，换个更直接的方法会更容易推进：

• 第一步：简化原式的指数形式
  同底数幂相除，指数可以直接相减，所以：
  $$\frac{x^a}{x{\ln x}} = x^{a - \ln x}$$
  这个变形比你拆分的形式更简洁，还避开了分母带$a$可能引发的符号问题（比如$a$为负数时，你的原式拆分逻辑会失效）。

• 第二步：用对数转化极限（关键技巧）
  对于指数型的极限，取自然对数是常用的破局方法——因为$\ln$是单调递增函数，$\lim_{x\to\infty} f(x)=0$等价于$\lim_{x\to\infty} \ln f(x)=-\infty$。对$x^{a - \ln x}$取对数：
  $$\ln\left(x^{a - \ln x}\right) = (a - \ln x)\cdot\ln x = a\ln x - (\ln x)^2$$

• 第三步：分析对数后的极限趋势
  当$x\to\infty$时，$(\ln x)^2$的增长速度远快于线性的$a\ln x$——不管$a$是多大的实数，$(\ln x)^2$都会主导整个式子的趋势，所以：
  $$\lim_{x\to\infty} \left(a\ln x - (\ln x)^2\right) = -\infty$$

• 第四步：还原回原极限
  因为$x^{a - \ln x} = e^{(a - \ln x)\ln x}$，当指数趋向$-\infty$时，$e^{-\infty}=0$，所以：
  $$\lim_{x \to \infty} \frac{x^a}{x{\ln x}} = 0$$

这样就完整证明了你的结论：拟多项式$x^{\ln x}$在无穷远处的增长速度确实快于任意形如$x^a$（$a\in\mathbb{R}$）的常规多项式。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Ziyad Edher