交换Noetherian环中：若(x,y)是正则序列，(y,x)是否也为正则序列？

咱们来一步步梳理这个交换环里的正则序列结论：

• 先明确前提：设$R$为交换环，$(x,y)$是$R$中的正则序列。基于这个前提，咱们可以得到两个核心结论：

  1. $x$在商环$R/yR$中的像不是零因子；
  2. 记$S = \text{ann}_R(y)$（也就是$R$中所有满足$zy=0$的元素$z$构成的集合，即$y$的零化子），则有$xS = S$。

• 接下来追加两个条件：当$R$是Noetherian环，且$x \in J(R)$（$R$的Jacobson根，即$R$所有极大理想的交集）时，咱们可以借助Nakayama引理继续推导：
  因为$xS = S$，而$x$属于Jacobson根，结合Nakayama引理的结论——若$M$是有限生成$R$-模，$I$是$R$的理想且$I \subseteq J(R)$，满足$IM = M$则$M=0$（这里$S$作为Noetherian环的理想是有限生成的），直接就能推出$S = 0$。
  而$S = \text{ann}_R(y) = 0$，这就意味着**$y$不是$R$中的零因子**。

顺着这个逻辑往下延伸，还能探索更长正则序列的性质，或者Noetherian环下与模的深度相关的更多结论。

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