紧支撑连续函数平移序列的几乎处处线性无关性证明问询

咱们来梳理这个问题的核心内容：

• 设$f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{C}$是连续函数，记$A$为$f$的支撑集；
• 给定条件：$A$是紧集，且其Lebesgue测度$m(A) > 0$；
• 待证结论：存在序列${x_j}_{j=1}^\infty \subseteq \mathbb{R}^n$满足$x_j \to 0$，使得平移后的函数$f_j = f(x - x_j)$在零测集外线性无关。

这个构造方法出自Teschl所著《数学物理方法》中定理7.12的证明，另外补充一个已知结论：当$f$本身具有紧支撑时，完全可以选取这样的序列${x_j}$，让所有平移后的$f(x - x_j)$直接线性无关，不需要局限于零测集外的条件。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者JZS