交换环中理想商等式$((\hat{a} : \hat{b}) : \hat{c}) = (\hat{a}: \hat{b}\hat{c})$反向包含证明问询

嘿，你已经搞定了包含关系的一个方向，这一步做得相当扎实！现在咱们来补全反向包含的证明，思路其实和正向是对称的，一步步拆解就很清晰：

我们需要证明：$(\hat{a}: \hat{b}\hat{c}) \subset ((\hat{a}:\hat{b}) : \hat{c})$

步骤1：从理想商定义出发任取元素 #

任取 $x \in (\hat{a}: \hat{b}\hat{c})$，根据理想商的定义，这意味着：

$x\hat{b}\hat{c} \subset \hat{a}$

步骤2：推导元素满足双重理想商的条件 #

我们的目标是证明 $x \in ((\hat{a}:\hat{b}) : \hat{c})$，根据双重理想商的定义，这等价于证明：

$x\hat{c} \subset (\hat{a}:\hat{b})$

那怎么证这个呢？我们任取 $c \in \hat{c}$，需要说明 $xc \in (\hat{a}:\hat{b})$。再根据理想商 $(\hat{a}:\hat{b})$ 的定义，这等价于：对任意 $b \in \hat{b}$，都有 $(xc)b \in \hat{a}$。

步骤3：利用交换环的性质完成推导 #

因为 $A$ 是交换环，乘法满足交换律，所以 $(xc)b = xbc$。而 $xbc$ 显然属于 $x\hat{b}\hat{c}$，又因为我们一开始就知道 $x\hat{b}\hat{c} \subset \hat{a}$，所以 $xbc \in \hat{a}$。

这就说明 $xc \in (\hat{a}:\hat{b})$，而 $c$ 是 $\hat{c}$ 中任意元素，因此 $x\hat{c} \subset (\hat{a}:\hat{b})$，也就意味着 $x \in ((\hat{a}:\hat{b}) : \hat{c})$。

结论 #

结合你已经证明的正向包含 $((\hat{a}:\hat{b}) : \hat{c}) \subset (\hat{a}: \hat{b}\hat{c})$，我们就得到了等式：
$$((\hat{a}:\hat{b}) : \hat{c}) = (\hat{a}: \hat{b}\hat{c})$$

内容的提问来源于stack exchange，提问作者UniversalBasicIncomeSupporter8