为何单个数据点对Pearson's r的影响具有非对称性？

这是个挺反直觉的有趣问题！咱们一步步拆解来看：

背景与核心结论 #

我们的数据集包含样本点：(0,0)、(1,1)、(2,2)、(3,3)、(4,4)和(5,c)，其中c是可调整的变量。

• 在简单线性回归中，当且仅当c=5时，Pearson相关系数r=1——这很直观，此时所有点都完美贴合y=x的直线，呈现完全正相关。
• 当我们寻找满足0.9 < r < 1的c值区间时，直觉上很容易认为这个区间应该关于c=5对称，但实际计算后会发现这个区间是非对称的。

直观观察 #

你可以通过调整c的取值来感受这个非对称性：当c在特定区间内变动时，r会落在0.9到1之间，但这个区间的上下限与c=5的距离并不相等，完全打破了我们的对称直觉。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者mathclassfromscratch