关于∑ₙ=3^∞1/(nlnn(ln(lnn)))收敛性的错误证明排查

我最近在分析级数$\sum_{n=3}^\infty \frac{1}{n\ln{n}(\ln{(\ln{n})})}$的敛散性时，给出了一段有问题的证明，想请大家帮忙找找错处：

我的证明过程是这样的：

• 借助Mathematica得到一个不等式：当$n \ge 25$时，$$\frac{1}{n\ln{n}(\ln{(\ln{n})})} \le \frac{1}{n(\ln{n})^{1.1}}$$
• 已知当$p > 1$时，级数$\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n(\ln{n})^{p}}$是收敛的（积分判别法可证）
• 基于比较判别法，我得出$\sum_{n=3}^\infty \frac{1}{n\ln{n}(\ln{(\ln{n})})}$也收敛的结论

但我明确知道这个目标级数实际是发散的，所以我的证明肯定存在错误。我现在怀疑问题出在最开始那个通过Mathematica得到的不等式上，但暂时还没理清具体问题所在。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Brett Lane