求90°扇形被等半径弧分割后小区域的内切圆面积

没问题，咱们一步步拆解这个几何问题，核心是先求出内切圆的半径$r$，再计算面积。

首先明确已知条件：

• 扇形EAB，圆心为E，半径$R$，圆心角∠AEB=90°
• 该扇形被一条半径同样为$R$的弧分割为两部分，我们需要处理其中较小的部分
• 设内切圆的圆心为F，根据几何关系，线段$EF$的长度为$R+r$（这里的$EF$是原扇形圆心到内切圆圆心的距离）

接下来按你提到的辅助线继续推导：

1. 过内切圆圆心$F$作一条平行于半径$AB$的直线，这条直线与半径$AE$交于点$K$。
2. 由于$AB$是等腰直角三角形EAB的斜边（∠AEB=90°，EA=EB=R），所以$AB$的斜率为-1，这条平行线的斜率也为-1。
3. 我们建立平面直角坐标系简化计算：将E放在原点$(0,0)$，EA置于x轴，EB置于y轴，那么A点坐标为$(R,0)$，B点坐标为$(0,R)$，内切圆圆心$F$的坐标可设为$(x,y)$。

关键几何关系推导 #

• 因为内切圆与分割弧相切，结合$EF=R+r$，可得$\sqrt{x^2 + y^2}=R+r$。
• 若内切圆与EA相切，则$F$到x轴（EA）的距离等于半径，即$y=r$。
• 假设分割弧的圆心为A（半径$R$），内切圆与这条弧内切，那么圆心距$AF=R - r$，即$\sqrt{(x - R)^2 + y^2}=R - r$。

将$y=r$代入上述方程：

1. 由$EF=R+r$得：$\sqrt{x^2 + r^2}=R+r$，平方后整理得 $x^2=(R+r)2 - r^2=R2 + 2Rr$
2. 由$AF=R - r$得：$\sqrt{(x - R)^2 + r^2}=R - r$，平方后整理得 $(x - R)^2=(R - r)^2 - r^2=R2 - 2Rr$

将$x^2=R2 + 2Rr$代入第二个展开式：
$$(x - R)^2=x2 - 2Rx + R^2=R2 + 2Rr - 2Rx + R^2=2R2 + 2Rr - 2Rx$$
令其等于$R^2 - 2Rr$，整理得：
$$R^2 + 4Rr = 2Rx \implies x=\frac{R + 4r}{2}$$

再将$x=\frac{R + 4r}{2}$代入$x^2=R2 + 2Rr$：
$$\left(\frac{R + 4r}{2}\right)^2=R2 + 2Rr$$
展开并化简后可得：
$$16r^2=3R2 \implies r=\frac{R\sqrt{3}}{4}$$（舍去负解）

计算内切圆面积 #

得到半径$r$后，内切圆面积$S$为：
$$S=\pi r^2=\pi \cdot \frac{3R^2}{16}=\frac{3\pi R^2}{16}$$

如果分割弧的圆心不是A，推导逻辑会略有调整，但核心都是利用相切时圆心距与半径的关系结合坐标系或几何定理求解。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者G. Amber