求连通空间X示例：两点x₀、x₁的基本群π₁(X,x₀)与π₁(X,x₁)不同构

你这个问题问到点子上了——首先明确两个关键结论：

• 如果空间是道路连通的，那么任意两点的基本群一定是同构的，因为两点之间的路径会诱导基本群之间的同构映射。
• 但连通空间不一定是道路连通的，在这类非道路连通的连通空间里，就存在两点，它们的基本群不同构。

给你举个具体的构造例子：
我们构造空间 ( X )，它由三部分组成：

• 一个标准圆 ( S^1 )：比如平面上圆心在(2,0)、半径1的圆
• 垂直线段 ( V = { (0, y) \mid -1 \leq y \leq 1 } )
• 连接桥梁曲线 ( C = { (x, \sin(1/x)) \mid 0 < x \leq 1 } )：把 ( C ) 的右端点 ( (1, \sin1) ) 和 ( S^1 ) 上的点 ( (1,0) ) 粘在一起，而 ( C ) 的闭包天然包含整个线段 ( V )（当x趋近于0时，( \sin(1/x) ) 会遍历[-1,1]的所有值）

这个空间 ( X = S^1 \cup C \cup V ) 是连通的：曲线 ( C ) 的闭包把 ( S^1 ) 和 ( V ) 连为一体，整个空间无法拆分成两个非空的不交闭集。但它不是道路连通的——你找不到一条从 ( V ) 里的点（比如 ( x_1=(0,0) )）到 ( S^1 ) 里的点（比如 ( x_0=(3,0) )）的连续路径。

现在分析两个点的基本群：

• 对于 ( x_0=(3,0) )：它所在的道路分支是 ( S^1 \cup C )（C和S¹是道路连通的），而C是可缩空间，相当于把圆的一个点粘到一条可缩曲线上，所以这个道路分支的基本群同构于整数群 ( \mathbb{Z} )。
• 对于 ( x_1=(0,0) )：它所在的道路分支是单点集 ( { (0,0) } )（没有任何连续路径能从这里走到X的其他点），所以它的基本群是平凡群（只有单位元）。

显然 ( \mathbb{Z} ) 和平凡群不可能同构，所以这个 ( X ) 就满足你的要求：连通空间中存在两点 ( x_0, x_1 )，它们的基本群不同构。

补充说明：如果你原本想问的是道路连通空间中是否存在这样的例子，那答案是不存在——道路连通空间中任意两点的基本群必然同构，这是由两点间的路径诱导的同构映射保证的，这个映射会把一个基点的环路转化为另一个基点的环路，且是双射、保运算的群同构。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者DGB