球域中φ-f上界估计不等式的推导方法问询

没问题，我来帮你一步步推导这个结论~

已知条件梳理 #

首先明确问题中的所有给定信息：

• $\phi$是定义在单位球$B$上的非负Lipschitz函数；
• $c$是正常数；
• $f$是球$B$上的Dirichlet边值问题的解：
  $$
  \begin{align}
  -\Delta f = c , \phi, \quad & \text{in } B \
  f = 0, \quad & \text{on } \partial B.
  \end{align}
  $$
• $\phi$满足次调和型条件：$-\Delta \phi - c , \phi \leq 0$（分布意义下成立）。

第一步：验证$\phi - f$的上调和性 #

令$u = \phi - f$，我们先验证题目给出的推导前提：$-\Delta u \leq 0$。

将$u$代入拉普拉斯算子展开：
$$
-\Delta u = -\Delta(\phi - f) = -\Delta\phi + \Delta f
$$
结合边值问题的核心方程$-\Delta f = c\phi$（即$\Delta f = -c\phi$），代入上式得：
$$
-\Delta u = -\Delta\phi - c\phi
$$
题目中已明确$-\Delta\phi - c\phi \leq 0$，因此直接得到：
$$
-\Delta u \leq 0 \quad \text{in } B
$$
这说明$u = \phi - f$是$B$内的上调和函数（注：部分教材会将此类函数称为次调和函数，核心以不等式方向为准）。

第二步：利用上调和函数的平均值性质 #

上调和函数（满足$-\Delta u \leq 0$）的核心性质之一是积分形式的最大值约束：对于紧子集$B_{1/2} \subset B$，函数在该子集上的最大值不超过它在整个球$B$上的平均值。

具体推导逻辑：
对于上调和函数$u$，其在内部点的取值满足平均值不等式——任意$x \in B_{1/2}$，都有
$$
u(x) \leq \frac{1}{|B|} \int_B u(y) , dy
$$
对$B_{1/2}$内所有点取上确界，自然得到：
$$
\sup_{x \in B_{1/2}} u(x) \leq \frac{1}{|B|} \int_B u(y) , dy
$$

将$u = \phi - f$代回，就得到题目需要的结论：
$$
\sup_{B_{1/2}} (\phi - f) \leq \frac{1}{|B|} \int_B (\phi - f) , dx
$$

内容的提问来源于stack exchange，提问作者cesare borgia