请求协助求解不等式$-1<\dfrac{x}{\log(x-1)(x-1)}<1$（附尝试过程）

首先得先明确这个不等式的定义域：

• 对数真数要求 $x-1>0$，即 $x>1$；
• 分母不能为0，所以 $(x-1)\log(x-1)≠0$，结合 $x>1$，可得 $\log(x-1)≠0$，即 $x-1≠1$，也就是 $x≠2$。
  所以定义域是 $x∈(1,2)∪(2,+∞)$。

先纠正你左侧不等式的推导问题 #

你之前推导左侧 $-1<\dfrac{x}{(x-1)\log(x-1)}$ 的步骤存在逻辑跳跃，正确的推导应该是：
移项通分得到：
$$\frac{x}{(x-1)\log(x-1)} + 1 > 0 \implies \frac{x + (x-1)\log(x-1)}{(x-1)\log(x-1)} > 0$$
令分子 $f(x)=x + (x-1)\log(x-1)$，通过求导分析可知，在定义域内 $f(x)$ 始终大于0（最小值约为0.99），因此不等式等价于分母 $(x-1)\log(x-1)>0$：

• 当 $x>2$ 时，$x-1>1$，$\log(x-1)>0$，分母为正；
• 当 $1<x<2$ 时，$x-1∈(0,1)$，$\log(x-1)<0$，分母为负。
  所以左侧不等式的解是 $x>2$，你的最终结果是对的，但推导过程需要修正。

解决右侧不等式 $\dfrac{x}{(x-1)\log(x-1)} <1$ #

同样移项通分：
$$\frac{x}{(x-1)\log(x-1)} -1 <0 \implies \frac{x - (x-1)\log(x-1)}{(x-1)\log(x-1)} <0$$
令分子 $h(x)=x - (x-1)\log(x-1)$，我们分区间结合分母符号分析：

1. 当 $1<x<2$ 时 #

分母 $(x-1)\log(x-1)<0$，对 $h(x)$ 求导得 $h'(x)=-\log(x-1)$，因为 $\log(x-1)<0$，所以 $h'(x)>0$，$h(x)$ 在 $(1,2)$ 上单调递增。

• 当 $x→1^+$ 时，$h(x)→1>0$；
• 当 $x→2^-$ 时，$h(x)=2 - 1*\log1=2>0$。
  所以 $h(x)>0$，此时分子正、分母负，整体小于0，满足不等式。但这部分和左侧不等式的解 $x>2$ 没有交集，暂时先记下来。

2. 当 $x>2$ 时 #

分母 $(x-1)\log(x-1)>0$，此时不等式等价于 $h(x)<0$。
对 $h(x)$ 求导得 $h'(x)=-\log(x-1)<0$（因为 $x>2$ 时 $\log(x-1)>0$），所以 $h(x)$ 在 $(2,+∞)$ 上单调递减：

• $h(2)=2 - 1*\log1=2>0$；
• 当 $x→+∞$ 时，$(x-1)\log(x-1)$ 的增长速度远快于 $x$，所以 $h(x)→-∞$。
  这说明存在一个唯一的 $x_0>2$，使得 $h(x_0)=0$，即 $x_0 - (x_0-1)\log(x_0-1)=0$。这个方程没有解析解，只能近似求解：
• 如果是常用对数（以10为底），近似得 $x_0≈13.1$；
• 如果是自然对数（以e为底），近似得 $x_0≈4.6$。

因此在 $x>2$ 时，右侧不等式的解是 $x>x_0$。

原不等式的最终解 #

左侧不等式解为 $x>2$，右侧不等式解为 $1<x<2$ 或 $x>x_0$，两者的交集就是：
$$\boldsymbol{x>x_0}$$
其中 $x_0$ 是方程 $x - (x-1)\log(x-1)=0$ 的正根，近似值根据对数底数不同分别为13.1（常用对数）或4.6（自然对数）。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者peterxd4