双δ势场下波函数透射概率计算及边界条件求解求助

先帮你整理下势场表达式（避免符号混淆）：
$V(x) = -\frac{\hbar^2 D}{m}\delta(x+a) + \frac{\hbar^2 D}{m}\delta(x-a)$，其中$a>0, D>0$。另外你波函数里的系数$D$和势场参数$D$重名了，下面我会把中间区域的反向波系数换成$G$，写成$\psi_2(x)=Ce^{ikx}+Ge{-ikx}$，避免计算时出错。

区域划分与波函数设定 #

因为粒子从正$x$轴入射（即从$x\to+\infty$方向过来），我们把空间分成三个区域：

• 区域3（$x>a$）：这里有向左传播的入射波（对应$e^{{-ikx}$）和向右传播的反射波（对应$e}{ikx}$），波函数为$\psi_3(x)=Ee^{ikx}+Fe{-ikx}$。为了计算方便，我们归一化入射波振幅为$F=1$（透射概率只和振幅比值有关，不影响结果）。
• 区域2（$-a<x<a$）：双δ势之间的区域，既有向右的透射波也有向左的反射波，波函数为$\psi_2(x)=Ce^{ikx}+Ge{-ikx}$。
• 区域1（$x<-a$）：粒子穿过双δ势后只会向左传播，没有从左边来的入射波，所以波函数简化为$\psi_1(x)=Ae^{ikx}$（原表达式里的$B=0$，直接去掉）。

核心边界条件（δ势的通用规则） #

对于任意δ势$V(x)=\alpha\delta(x-x_0)$，波函数满足两个关键条件：

1. 波函数连续：$\psi(x_0^+)=\psi(x_0-)$，这是因为波函数不连续会导致概率密度无穷大，物理上不可能。
2. 一阶导数跃变：对薛定谔方程在$x_0$的无穷小邻域积分，可得：
   $$\psi'(x_0^+) - \psi'(x_0^-) = \frac{2m}{\hbar^2}\alpha\psi(x_0)$$

应用到你的双δ势场 #

1. $x=a$处的边界条件

这里的势场分量是$V(x)=\frac{\hbar^2 D}{m}\delta(x-a)$，对应$\alpha=\frac{\hbar^2 D}{m}$：

• 连续条件：$\psi_3(a)=\psi_2(a)$
  $$Ee^{ika} + e^{-ika} = Ce^{ika} + Ge^{-ika}$$
  两边除以$e^{ika}$简化：
  $$E + e^{-2ika} = C + Ge^{-2ika} \tag{1}$$
• 导数跃变条件：$\psi_2'(a) - \psi_3'(a) = \frac{2m}{\hbar^{2}\cdot\frac{\hbar}2 D}{m}\cdot\psi(a) = 2D\psi(a)$
  先写出导数：$\psi_3'(x)=ikEe^{ikx}-ik e^{{-ikx}$，$\psi_2'(x)=ikCe}{ikx}-ikGe^{-ikx}$，代入得：
  $$ikCe^{ika}-ikGe{-ika} - (ikEe^{ika}-ik e^{-ika}) = 2D(Ce^{ika}+Ge{-ika})$$
  两边除以$ik$整理：
  $$(C - E)e^{ika} - Ge^{-ika} + e^{-ika} = \frac{2D}{ik}(Ce^{ika}+Ge{-ika}) \tag{2}$$

2. $x=-a$处的边界条件

这里的势场分量是$V(x)=-\frac{\hbar^2 D}{m}\delta(x+a)$，对应$\alpha=-\frac{\hbar^2 D}{m}$：

• 连续条件：$\psi_2(-a)=\psi_1(-a)$
  $$Ce^{-ika} + Ge^{ika} = Ae^{-ika}$$
  两边乘以$e^{ika}$简化：
  $$C + Ge^{2ika} = A \tag{3}$$
• 导数跃变条件：$\psi_1'(-a) - \psi_2'(-a) = \frac{2m}{\hbar^{2}\cdot\left(-\frac{\hbar}2 D}{m}\right)\cdot\psi(-a) = -2D\psi(-a)$
  导数：$\psi_1'(x)=ikAe^{{ikx}$，$\psi_2'(x)=ikCe}{ikx}-ikGe^{-ikx}$，代入得：
  $$ikAe^{-ika} - (ikCe^{-ika}-ikGe{ika}) = -2D(Ce^{-ika}+Ge{ika})$$
  两边除以$ik$整理：
  $$Ae^{-ika} - Ce^{-ika} + Ge^{ika} = -\frac{2D}{ik}(Ce^{-ika}+Ge{ika}) \tag{4}$$

求解透射概率 #

现在你有4个方程（1）（2）（3）（4），4个未知数$E,C,G,A$。可以先把方程（3）代入方程（4）消去$A$，再结合方程（1）（2）解出$C$和$G$，最后代回（3）得到$A$。透射概率$T=|A|^2$（因为我们归一化了入射波振幅$F=1$）。

给你个小技巧：计算时可以令$\beta=2D/(ik)$，或者把复数项整理成三角函数形式（比如$e^{\pm 2ika}=\cos2ka\pm i\sin2ka$），会让代数运算更清晰。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者gamma