100次非零互异实根多项式相关方程的根的性质求解

首先，我们明确已知条件：$p(x)$是100次实系数多项式，拥有100个互不相同的非零实根$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_{100}$，因此可以表示为：
$$p(x)=A(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)\cdots(x-\alpha_{100}),$$
其中$A\in\mathbb{R}\setminus{0}$。接下来分别分析两个方程的根的性质：

一、方程 $x^2p''(x)+3xp'(x)+p(x)=0$ 的根的性质 #

先对左边的多项式做变形处理：
$$x^2p''(x)+3xp'(x)+p(x) = \frac{d}{dx}\left(x^2p'(x)\right) + \frac{d}{dx}\left(xp(x)\right) = \frac{d}{dx}\left(x^2p'(x)+xp(x)\right)$$
这说明原方程等价于 $\frac{d}{dx}\left(x^2p'(x)+xp(x)\right)=0$，即 $x^2p'(x)+xp(x)$ 是一个常数。从多项式维度分析：

• $p(x)$ 是100次多项式，$xp(x)$ 是101次，$x^2p'(x)$ 是 $2+99=101$ 次，因此 $x^2p'(x)+xp(x)$ 是101次多项式，它的导数就是原方程左边的多项式，次数为 $101-1=100$ 次，所以原方程有100个根（计重数）。

再看实根情况：

• 因为 $p(x)$ 是实系数多项式，原方程左边也是实系数多项式，所以复数根必然共轭成对出现。
• 对于 $p(x)$ 的任意两个相邻实根 $\alpha_i < \alpha_{i+1}$，在区间 $(\alpha_i, \alpha_{i+1})$ 内，$p(x)$ 的符号交替变化，而 $x^2p''(x)+3xp'(x)$ 的符号会随 $x$ 靠近区间端点发生变化，结合连续函数的介值定理，每个相邻根的区间内至少存在一个实根。
• 在 $x < \min{\alpha_i}$ 和 $x > \max{\alpha_i}$ 的区间内，根据多项式在无穷远处的趋势（$x\to\pm\infty$ 时，左边多项式与 $A\cdot10201x^{100}$ 同号），若区间内多项式符号发生变化，也会存在实根。

综上，这个方程的100个根中，至少有99个不同的实根（对应相邻根之间的区间），剩余的根要么是实根，要么是共轭成对的复数根。

二、方程 $10p(x)p''(x)=99(p'(x))^2$ 的根的性质 #

我们用对数导数来简化分析：设 $u(x)=\frac{p'(x)}{p(x)}$，则 $\frac{p''(x)}{p(x)}=u'(x)+u(x)^2$。将其代入方程并两边除以 $p(x)^2$（$p(x)\neq0$ 时），得到：
$$10\left(u'(x)+u(x)^{2\right)=99u(x)}2$$
整理后为：
$$10u'(x)=89u(x)^2$$

结合 $u(x)=\sum_{i=1}^{100}\frac{1}{x-\alpha_i}$，进一步变形可得：
$$89\left(\sum_{i=1}^{{100}\frac{1}{x-\alpha_i}\right)}2 + 10\sum_{i=1}^{{100}\frac{1}{(x-\alpha_i)}2}=0$$

现在看实数解的可能性：

• 对于任意实数 $x\neq\alpha_i$，$\sum_{i=1}^{{100}\frac{1}{(x-\alpha_i)}2}$ 是正数（平方和），$\left(\sum_{i=1}^{{100}\frac{1}{x-\alpha_i}\right)}2$ 是非负数，因此左边的表达式必然大于0，不可能等于0。
• 当 $x=\alpha_i$ 时，$p(x)=0$，代入原方程左边得 $-99(p'(x))^2\neq0$（因为 $\alpha_i$ 是单根，$p'(x)\neq0$），所以 $x=\alpha_i$ 不是方程的根。

由于原方程是实系数多项式方程，所有根都是复数，且共轭成对出现，不存在任何实根。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者DXT