求直圆锥内立方体与上方内切球的体积比（半径6cm高8cm）

咱们一步步来拆解这个问题，先搞定立方体的棱长，再求球的半径，最后就能算出体积比啦～

第一步：建立坐标系与圆锥方程 #

把圆锥底面圆心放在坐标系原点$(0,0,0)$，圆锥的轴作为$z$轴，圆锥顶点坐标为$(0,0,8)$。
圆锥的侧面可以用“到轴的距离$r$与高度$z$的关系”来描述：在$x-z$截面，母线是从$(6,0)$到$(0,8)$的直线，斜率为$-4/3$，因此方程为：
$$z = 8 - \frac{4}{3}r$$
其中$r = \sqrt{x^2 + y^2}$，是空间中点到$z$轴的距离。

第二步：求立方体的棱长$a$ #

立方体的一个面在圆锥底面（$z=0$平面），棱长为$a$，因此立方体上顶点的$z$坐标为$a$。
由于立方体中心在$z$轴上，上顶点到$z$轴的距离是底面正方形顶点到中心的距离：
$$r = \sqrt{(\frac{a}{2})^2 + (\frac{a}{2})^2} = \frac{a}{\sqrt{2}}$$
这个上顶点在圆锥侧面上，代入圆锥方程：
$$\frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{3}{8}(8 - a)$$
解这个方程：
$$4\sqrt{2}a = 24 - 3a \implies a(4\sqrt{2} + 3) = 24 \implies a = \frac{24}{3 + 4\sqrt{2}}$$
（这里我们暂时不需要具体数值，后面会用到比例关系简化计算）

第三步：求球的半径$R$ #

球放在立方体顶部，球心在$z$轴上，坐标为$(0,0,a+R)$。球与圆锥侧面相切，意味着球心到圆锥母线的距离等于半径$R$。
圆锥母线的直线方程整理为$4x + 3z = 24$，用点到直线的距离公式：
$$\frac{|3(a+R) - 24|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = R$$
因为球在圆锥内部，$3(a+R)-24 < 0$，去掉绝对值后：
$$\frac{24 - 3a - 3R}{5} = R \implies 24 - 3a = 8R \implies R = \frac{24 - 3a}{8}$$

这里有个关键的简化：从立方体的方程我们可以推导出$8 - a = \frac{8a}{3\sqrt{2}}$，代入$R$的表达式：
$$R = \frac{3(8 - a)}{8} = \frac{3 \times \frac{8a}{3\sqrt{2}}}{8} = \frac{a}{\sqrt{2}}$$
也就是说，球的半径$R = \frac{a}{\sqrt{2}}$，这个比例关系直接帮我们省去了复杂的数值计算！

第四步：计算体积比 #

立方体体积$V_1 = a^3$，球的体积$V_2 = \frac{4}{3}\pi R^3$，两者的体积比为：
$$\frac{V_2}{V_1} = \frac{\frac{4}{3}\pi R^3}{a3} = \frac{4\pi}{3} \times \left( \frac{R}{a} \right)^3$$
代入$R = \frac{a}{\sqrt{2}}$：
$$\frac{V_2}{V_1} = \frac{4\pi}{3} \times \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^3 = \frac{4\pi}{3} \times \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\pi\sqrt{2}}{3}$$

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Of course it's not me