请求构造带标准光滑结构的1维实射影空间RP¹上的向量场

首先先明确RP¹的结构：它是1维实射影空间，等价于S¹捏合对径点后的空间，也可以看成ℝ²{0}模掉非零实数乘法的商空间，齐次坐标记为[x₀, x₁]（满足[λx₀, λx₁] = [x₀, x₁]对任意λ≠0成立）。

要给出M=RP¹上的向量场，就是要构造一个映射V: M → TM，其中TM是M的切丛，满足对每个p∈M，V(p)∈T_pM，并且这个映射是光滑的。

构造1：标准非零全局向量场 #

我们可以从S¹的切向量场诱导过来，步骤如下：

• 先看S¹上的向量场W(x,y) = x ∂/∂y - y ∂/∂x，这个向量场在对径点(-x,-y)处满足W(-x,-y) = W(x,y)（验证：(-x)∂/∂(-y) - (-y)∂/∂(-x) = x ∂/∂y - y ∂/∂x），所以它可以投影到RP¹上，得到良定义的全局向量场。
• 写成映射形式：
  • 对任意p=[x₀,x₁]∈RP¹，V(p)是T_pRP¹中的向量，它在局部坐标下的表达式：
    • 在坐标卡U₀ = {[x₀,x₁] | x₀≠0}（坐标t = x₁/x₀），V(p)对应∂/∂t；
    • 在坐标卡U₁ = {[x₀,x₁] | x₁≠0}（坐标s = x₀/x₁），V(p)对应-s² ∂/∂s；
  • 用齐次坐标等价类描述的话，V([x₀,x₁])是由ℝ²中的向量(x₁, -x₀)在商映射下诱导的切向量（因为(x₁,-x₀)是S¹在(x₀,x₁)处的切向量，且(-x₁,x₀)诱导的切向量和它在RP¹中是同一个元素）。

构造2：另一个光滑全局向量场 #

我们可以构造更一般的例子，比如：

• 在U₀上定义V₀(t) = t² ∂/∂t；
• 根据坐标变换t = 1/s，∂/∂t = -s² ∂/∂s，所以在U₁上V₁(s) = (1/s)² · (-s²) ∂/∂s = - ∂/∂s；
• 这个V在U₀∩U₁上是相容的，所以是全局光滑向量场，映射形式就是：对p∈U₀，V(p)=t² ∂/∂t；对p∈U₁，V(p)=-∂/∂s。

关键点说明 #

• RP¹同胚于S¹，所以它的欧拉示性数为0，这意味着存在非零的全局光滑向量场（刚才的构造都是非零的）；
• 所有RP¹上的光滑向量场都可以表示为上述局部坐标下相容的光滑函数乘以局部基向量，或者通过S¹上满足W(-x,-y)=W(x,y)的向量场诱导而来（这样才能保证投影到RP¹后是良定义的）。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者PHU CUONG LE VAN