$\mathbb{R}^3$中点集技术问询：是否最多存在一个以其为顶点的凸多面体？

这个命题其实是真的，我们可以从凸多面体和凸包的基本性质来推导：

• 首先，凸多面体本身就是一个凸集，而任何包含给定所有点的凸集，都必须包含这些点的凸包（凸包是包含所有点的最小凸集）。
• 如果一个凸多面体以给定的点集为顶点（即每个点都是该多面体的顶点，没有遗漏），那么这个多面体的顶点必然都是其凸包的顶点——因为如果某个点不在凸包上，它会被包含在凸包内部，而凸多面体作为凸集，内部的点无法成为顶点（顶点是凸多面体的“极点”，不能表示为其他点的凸组合）。
• 而点集的凸包是唯一的，对应的凸多面体（即把凸包看作多面体）也是唯一的，它的顶点恰好是点集中那些属于凸包顶点的点。

换个更直白的说法：

• 如果给定的点集处于凸位置（每个点都是凸包的顶点），那么恰好存在一个以这些点为顶点的凸多面体，就是它们的凸包；
• 如果点集不处于凸位置（存在点在凸包内部或面上），那么不存在这样的凸多面体——因为那些非凸包顶点的点无法成为凸多面体的顶点。

所以无论哪种情况，给定的点集最多对应一个以这些点为顶点的凸多面体。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Ray Bern