C⁰子流形是否存在管状邻域？以ℝ²中单位正方形嵌入为例

嘿，这个问题问到点子上了！先直接给结论：并非所有C⁰（拓扑）子流形都存在管状邻域，你给出的单位正方形边界嵌入ℝ²的例子，正好是一个典型的反例。

先理清楚拓扑管状邻域的定义 #

首先明确一下我们说的管状邻域是什么：对于拓扑流形M里的k维拓扑子流形S，管状邻域指的是S的一个开邻域N，能找到一个同胚 ( h: N \to S \times \mathbb{R}^{n-k} )（这里n是M的维数，你的例子里n=2，k=1，所以就是( S \times \mathbb{R} )），而且h把S正好映射到乘积空间里的( S \times {0} )这个截面。

你的正方形例子的具体分析 #

你定义的嵌入( f:S \to \mathbb{R}^2 )，它的像就是ℝ²里的单位正方形边界（记为( \partial Q )）。从拓扑上看，S本身其实是个圆周( S^1 )（因为参数t=0和t=4对应同一个点）。现在假设真的存在你说的那种邻域N，同胚于( S \times \mathbb{R} )，我们可以从局部拓扑性质发现矛盾：

• 对于( \partial Q )上的非角点（比如每条边的中点），把它在N里的邻域去掉( \partial Q )之后，会分成2个连通分支——这和( S^1 \times \mathbb{R} )（也就是圆柱面）里对应点的情况是一致的。
• 但对于( \partial Q )上的角点，比如( (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) )，它在N里的邻域去掉( \partial Q )之后，会分成4个连通分支！而圆柱面( S^1 \times \mathbb{R} )里，任何点的邻域去掉中心截面( S^1 \times {0} )，都只会有2个连通分支。

这种局部连通分支的数量是拓扑不变量，同胚是不可能改变它的，所以显然不存在满足条件的邻域N。

额外补充个小知识点 #

顺带提一句，光滑子流形（C¹及以上）在欧氏空间里是一定有管状邻域的，这是微分拓扑里的经典结论，但这个结论没法推广到C⁰的拓扑子流形——你的例子就很好地说明了这一点：拓扑嵌入可以有“角点”这种非光滑的结构，直接破坏了管状邻域存在的条件。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Slereah