求与两相切圆外切的第三圆圆心坐标的解析解法
我来一步步帮你把这个几何问题的解析解法落地——你已经想到列二次方程组了，差的就是消元和化简的关键步骤，咱们来拆解清楚：
第一步：明确已知条件与变量设定
先把所有已知量和待求量明确下来：
- 圆$C_1$：圆心$P_1=(x_1, y_1)$，半径$r_1$
- 圆$C_2$：圆心$P_2=(x_2, y_2)$，半径$r_2$（已知两圆相切）
- 第三圆$C_3$：半径$r_3$已知，圆心$P_3=(x_3, y_3)$为待求坐标
因为$C_3$和$C_1$、$C_2$均外切，根据外切圆的圆心距等于半径之和，我们可以得到两个几何关系：
- $P_1P_3 = r_1 + r_3$ → $\sqrt{(x_3 - x_1)^2 + (y_3 - y_1)^2} = r_1 + r_3$
- $P_2P_3 = r_2 + r_3$ → $\sqrt{(x_3 - x_2)^2 + (y_3 - y_2)^2} = r_2 + r_3$
第二步：转化为无根号的二次方程组
把两个方程两边平方，去掉根号，得到标准的二次方程组：
- 方程(1)平方后：$(x_3 - x_1)^2 + (y_3 - y_1)^2 = (r_1 + r_3)^2$
- 方程(2)平方后：$(x_3 - x_2)^2 + (y_3 - y_2)^2 = (r_2 + r_3)^2$
第三步：消元得到线性方程
这一步是关键——把两个二次方程相减，大部分二次项会直接抵消，得到一个关于$x_3$和$y_3$的线性方程，这样就能把其中一个变量用另一个表示。
先展开两个平方项：
- 展开方程(1)：$x_3^2 - 2x_1x_3 + x_1^2 + y_3^2 - 2y_1y_3 + y_1^2 = (r_1 + r_3)^2$
- 展开方程(2)：$x_3^2 - 2x_2x_3 + x_2^2 + y_3^2 - 2y_2y_3 + y_2^2 = (r_2 + r_3)^2$
用方程(1)减去方程(2)，消去$x_32$和$y_32$，整理后得到：
$$2(x_2 - x_1)x_3 + 2(y_2 - y_1)y_3 = (r_1 + r_3)^2 - (r_2 + r_3)^2 + x_2^2 + y_2^2 - x_1^2 - y_1^2$$
我们可以把它整理成更简洁的$Ax_3 + By_3 = C$形式：
- $A = 2(x_2 - x_1)$
- $B = 2(y_2 - y_1)$
- $C = (r_1 - r_2)(r_1 + r_2 + 2r_3) + (x_2^2 + y_2^2) - (x_1^2 + y_1^2)$
接下来根据$A$和$B$是否为0，解出其中一个变量：
- 如果$B≠0$，则$y_3 = \frac{C - Ax_3}{B}$
- 如果$A≠0$，则$x_3 = \frac{C - By_3}{A}$
（注：因为两圆相切且相异，$P_1≠P_2$，所以$A$和$B$不会同时为0）
第四步：代入求解一元二次方程
把上一步得到的$y_3$（或$x_3$）代入到任意一个原二次方程（比如方程(1)）中，就会得到一个关于$x_3$（或$y_3$）的一元二次方程，形式为$px^2 + qx + s = 0$。
用一元二次方程求根公式：
$$x = \frac{-q \pm \sqrt{q^2 - 4ps}}{2p}$$
解出$x_3$的两个解后，再代入线性方程的表达式，就能得到对应的两个$y_3$值——这对应着平面上两个满足条件的外切圆（分别在$P_1P_2$连线的两侧）。
举个直观例子验证
假设：
- $P_1=(0,0)$，$r_1=1$
- $P_2=(3,0)$，$r_2=1$
- $r_3=1$
按步骤计算：
- $A=2(3-0)=6$，$B=2(0-0)=0$，$C=(1-1)(1+1+2*1)+(9+0)-(0+0)=9$
- 线性方程为$6x_3=9$ → $x_3=1.5$
- 代入方程(1)：$(1.5)^2 + y_32=(2)2$ → $y_3^2=4-2.25=1.75$ → $y_3=±\frac{\sqrt{7}}{2}$
得到的两个圆心$(1.5, \frac{\sqrt{7}}{2})$和$(1.5, -\frac{\sqrt{7}}{2})$，完全符合几何直觉。
额外注意点
- 如果一元二次方程的判别式小于0，说明不存在满足条件的外切圆（比如$r_3$过小，或者两圆间距过大）；
- 如果两圆是内切的情况，这个方法同样适用，只需要把外切的半径之和换成半径之差（注意绝对值），但你的问题里是外切，所以不用考虑这个。
内容的提问来源于stack exchange，提问作者user1562293
