从双向视角计算∫₋₁²(4-x²)dx的勒贝格积分

要搞定这个勒贝格积分，我们可以利用函数的单调性构造简单函数序列来逼近原函数$f(x)=4-x^2$，最后取极限就能得到积分值。先明确下$f(x)$的单调性：

• 在$[-1,0]$上单调递增，所以每个子区间里的最小值在左端点；
• 在$(0,2]$上单调递减，所以每个子区间里的最小值在右端点。

我们把$[-1,2]$这个总长度为3的区间拆成$2^{n$个等长的子区间，每个区间长度是$\frac{3}{2}n}$。接下来分两段定义用来逼近的简单函数$\varphi_n(x)$：

1. 区间 $[-1,0]$ 上的 $\varphi_n(x)$ #

当$k$取$1,2,\dots,2^{n-1}$时，对应的子区间是$\left[ \frac{-1+3(k-1)}{2^n}, \frac{-1+3k}{2^n} \right)$。因为这里函数递增，我们取左端点的函数值作为$\varphi_n(x)$在该区间的取值：
$$\varphi_n(x) = 4 - \left( \frac{-1+3(k-1)}{2^n} \right)^2$$

2. 区间 $(0,2]$ 上的 $\varphi_n(x)$ #

当$k$取$2^{n-1}+1,2{n-1}+2,\dots,2^n$时，对应的子区间是$\left( \frac{-1+3(k-1)}{2^n}, \frac{-1+3k}{2^n} \right]$。这里函数递减，我们取右端点的函数值作为$\varphi_n(x)$的取值：
$$\varphi_n(x) = 4 - \left( \frac{-1+3k}{2^n} \right)^2$$

计算积分并取极限 #

接下来我们计算$\varphi_n(x)$的积分，再让$n$趋向无穷大：

先算$[-1,0]$部分的积分

这部分有$2^{{n-1}$个子区间，每个长度$\frac{3}{2}n}$，积分和是：
$$
\sum_{k=1}^{2{n-1}} \left[ 4 - \left( \frac{-1+3(k-1)}{2^n} \right)^2 \right] \cdot \frac{3}{2^n}
$$
换元$m = k-1$，$m$从0到$2^{n-1}-1$，式子变成：
$$
\frac{3}{2^n} \sum_{m=0}^{2{n-1}-1} \left[ 4 - \left( \frac{-1+3m}{2^n} \right)^2 \right]
$$

再算$(0,2]$部分的积分

这部分同样有$2^{n-1}$个子区间，积分和是：
$$
\sum_{k=2^{n-1}+1}{2^n} \left[ 4 - \left( \frac{-1+3k}{2^n} \right)^2 \right] \cdot \frac{3}{2^n}
$$
换元$m = k - 2^{{n-1}$，$m$从1到$2}{n-1}$，代入后化简：
$$
\frac{3}{2^n} \sum_{m=1}^{2{n-1}} \left[ 4 - \left( \frac{-1+3(2^{n-1}+m)}{2n} \right)^2 \right]
$$

因为$f(x)$在$[-1,2]$上连续，黎曼可积，所以勒贝格积分和黎曼积分相等，我们可以直接用黎曼积分验证结果：
$$
\int_{-1}^{2}(4-x2)dx = \left[4x - \frac{x^{3}{3}\right]_{-1}}2 = (8 - \frac{8}{3}) - (-4 + \frac{1}{3}) = \frac{16}{3} + \frac{11}{3} = 9
$$
如果严格从勒贝格的简单函数求和出发，展开求和式并用平方和公式$\sum_{m=0}^{N-1} m^2 = \frac{(N-1)N(2N-1)}{6}$计算，最终也会得到9这个结果。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者rover2