如何证明集合运算的两个分配律等式？

嘿，这俩其实就是集合运算里的分配律！证明这类集合等式的核心思路很简单：两个集合相等当且仅当它们互为子集——也就是要证明左边的每个元素都在右边，同时右边的每个元素也都在左边。下面一步步给你拆解这两个证明：

我们分两步来证，先证左边是右边的子集，再证右边是左边的子集。

第一步：证明 $(A \cup B) \cap C \subseteq (A\cap C) \cup (B\cap C)$ #

假设任意元素 $x \in (A \cup B) \cap C$，根据集合运算的定义：

• $x \in A \cup B$ 意味着 $x$ 属于A，或者$x$属于B
• 同时 $x \in C$

我们分两种情况讨论：

• 如果 $x \in A$，结合 $x \in C$，可得 $x \in A \cap C$，而并集包含任意子集的元素，所以 $x \in (A\cap C) \cup (B\cap C)$
• 如果 $x \in B$，同理，结合 $x \in C$，可得 $x \in B \cap C$，同样满足 $x \in (A\cap C) \cup (B\cap C)$

不管哪种情况，左边集合里的元素都在右边集合里，所以左⊆右成立。

第二步：证明 $(A\cap C) \cup (B\cap C) \subseteq (A \cup B) \cap C$ #

假设任意元素 $x \in (A\cap C) \cup (B\cap C)$，根据并集定义：

• $x \in A \cap C$ 或者 $x \in B \cap C$

分情况分析：

• 如果 $x \in A \cap C$，则 $x$ 同时属于A和C。因为 $x \in A$，所以 $x \in A \cup B$；再结合 $x \in C$，可得 $x \in (A \cup B) \cap C$
• 如果 $x \in B \cap C$，同理，$x$ 同时属于B和C，所以 $x \in A \cup B$，结合 $x \in C$，也有 $x \in (A \cup B) \cap C$

右边集合里的元素都在左边集合里，右⊆左成立。

既然两边互为子集，那第一个等式就证明成立了。

同样用互为子集的思路来证。

第一步：证明 $(A\cap B) \cup C \subseteq (A \cup C) \cap (B \cup C)$ #

假设任意元素 $x \in (A\cap B) \cup C$，则：

• $x \in A \cap B$ 或者 $x \in C$

分两种情况：

• 情况1：$x \in A \cap B$，则 $x$ 同时属于A和B。那么 $x \in A \cup C$（因为A是A∪C的子集），同时 $x \in B \cup C$（同理B是B∪C的子集），所以 $x$ 属于这两个集合的交集，即 $x \in (A \cup C) \cap (B \cup C)$
• 情况2：$x \in C$，则 $x$ 肯定属于 $A \cup C$ 和 $B \cup C$，自然也属于它们的交集，即 $x \in (A \cup C) \cap (B \cup C)$

两种情况都满足，左⊆右成立。

第二步：证明 $(A \cup C) \cap (B \cup C) \subseteq (A\cap B) \cup C$ #

假设任意元素 $x \in (A \cup C) \cap (B \cup C)$，则 $x$ 同时属于 $A \cup C$ 和 $B \cup C$。

我们分 $x$ 是否属于C来讨论：

• 如果 $x \in C$，那直接就有 $x \in (A\cap B) \cup C$（因为C是这个并集的子集）
• 如果 $x \notin C$，那从 $x \in A \cup C$ 可以推出 $x \in A$（因为x不在C里，只能在A）；同理从 $x \in B \cup C$ 推出 $x \in B$。所以 $x$ 同时属于A和B，即 $x \in A \cap B$，自然也属于 $(A\cap B) \cup C$

右边集合里的元素都在左边集合里，右⊆左成立。

这样第二个等式也证明成立了。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Uğur Erçin