求证：有无穷多个末三位为4的平方数，且无末四位为4的平方数
嘿，这道罗马尼亚五年级竞赛题挺有意思的，我猜可能是翻译时的小疏漏——应该是要证明“存在无穷多个末三位全为4的完全平方数”和“不存在末四位全为4的完全平方数”，不然第二个结论就不成立啦。下面我一步步给你讲清楚这两个证明，完全不用计算器～
我们的目标是找到无穷多个整数 ( n )，使得 ( n^2 ) 的末三位是444（即 ( n^2 \equiv 444 \pmod{1000} )）。
分解模数
因为 ( 1000 = 8 \times 125 )，且8和125互质，根据中国剩余定理，我们只需要分别解决两个同余问题：- ( n^2 \equiv 444 \pmod{8} )
- ( n^2 \equiv 444 \pmod{125} )
再把两个问题的解组合起来即可。
解模8的同余式
计算444除以8的余数：( 444 = 55 \times 8 + 4 )，所以式子简化为 ( n^2 \equiv 4 \pmod{8} )。
试算所有整数模8的平方：- ( 0^2 \equiv 0 ), ( 1^2 \equiv 1 ), ( 2^2 \equiv 4 ), ( 3^2 \equiv 1 )
- ( 4^2 \equiv 0 ), ( 5^2 \equiv 1 ), ( 6^2 \equiv 4 ), ( 7^2 \equiv 1 )
满足条件的解是 ( n \equiv 2 ) 或 ( 6 \pmod{8} )。
解模125的同余式
计算444除以125的余数：( 444 = 3 \times 125 + 69 )，式子变为 ( n^2 \equiv 69 \pmod{125} )。
先找模25的解：( 69 \equiv 19 \pmod{25} )，试算得 ( 12^2 = 144 \equiv 19 \pmod{25} )，( 13^2 = 169 \equiv 19 \pmod{25} )，所以模25的解是 ( n \equiv 12 ) 或 ( 13 \pmod{25} )。
再用升幂法扩展到模125：- 对于 ( n = 25k + 12 )，代入得 ( (25k+12)^2 \equiv 600k + 144 \equiv 69 \pmod{125} )，化简后得 ( 4k \equiv 2 \pmod{5} )，解得 ( k \equiv 3 \pmod{5} )，即 ( n = 125m + 87 )。
- 对于 ( n = 25k + 13 )，代入得 ( (25k+13)^2 \equiv 650k + 169 \equiv 69 \pmod{125} )，化简后得 ( k \equiv 1 \pmod{5} )，即 ( n = 125m + 38 )。
所以模125的解是 ( n \equiv 38 ) 或 ( 87 \pmod{125} )。
组合解生成无穷多结果
把模8和模125的解组合，得到两个有效的同余类（另外两个类也有效，这里举两个例子）：- 当 ( n \equiv 6 \pmod{8} ) 且 ( n \equiv 38 \pmod{125} )，因为38 mod8=6，所以 ( n \equiv 38 \pmod{1000} )，即 ( n = 1000m + 38 )。计算 ( (1000m+38)^2 = 1000000m² + 76000m + 1444 )，末三位是444，符合要求。
- 当 ( n \equiv 2 \pmod{8} ) 且 ( n \equiv 87 \pmod{125} )，解得 ( n = 1000m + 962 )，计算 ( 962^2 = 925444 )，末三位也是444。
只要m取任意非负整数，就能得到无穷多个这样的n，因此存在无穷多个末三位全为4的完全平方数。
假设存在整数 ( n )，使得 ( n^2 ) 的末四位是4444（即 ( n^2 \equiv 4444 \pmod{10000} )），我们来推导矛盾：
分析模16的情况
因为 ( 10000 = 16 \times 625 )，所以 ( n^2 \equiv 4444 \pmod{16} )。计算4444除以16的余数：( 4444 = 277 \times 16 + 12 )，即 ( n^2 \equiv 12 \pmod{16} )。平方数模16的可能结果
所有整数的平方模16只能是以下四种结果：- 偶数的平方：若n是偶数，( n=2k )，则 ( n^2=4k² )。当k是偶数时，( 4k² \equiv 0 \pmod{16} )；当k是奇数时，( 4k² \equiv 4 \pmod{16} )。
- 奇数的平方：若n是奇数，( n=2k+1 )，则 ( n^2=4k(k+1)+1 )。k和k+1必有一个偶数，所以 ( 4k(k+1) ) 是8的倍数，因此 ( n^2 \equiv 1 ) 或 ( 9 \pmod{16} )。
矛盾推导
12不在平方数模16的可能结果中，因此 ( n^2 \equiv 12 \pmod{16} ) 不可能成立，说明假设错误——不存在这样的整数n，即不存在末四位全为4的完全平方数。
内容的提问来源于stack exchange，提问作者motoras
