实射影平面划分为两个“良态”子集时是否恰含一个不可定向分支？

嘿，这个问题问到点子上了，咱们先把核心结论抛出来：当你把实射影平面（$\mathbb{RP}^2$）划分为满足条件的两个“良态”子集时，恰好其中一个是不可定向的。下面咱们一步步理清楚为什么是这样，再补充你提到的三个子集的反例情况。

先明确“良态”划分的定义 #

你说的“良态”指的是：两个子集$S_1$和$S_2$覆盖$\mathbb{RP}^2$，它们的交集（公共边界）是有限个互不相交的多边形（排除一维区域，意味着每个子集都是二维的，内部非空）。这种划分下，$S_1$和$S_2$都是带边界的二维紧致流形。

用欧拉示性数推导结论 #

实射影平面的欧拉示性数$\chi(\mathbb{RP}^2)=1$。对于带边界的流形，欧拉示性数有一个加法性质：如果一个流形$X$被两个带边界的子流形$S_1,S_2$覆盖，那么$\chi(X)=\chi(S_1)+\chi(S_2)-\chi(S_1\cap S_2)$。

这里$S_1\cap S_2$是有限个多边形，每个多边形同胚于圆，而圆的欧拉示性数是0，所以$\chi(S_1\cap S_2)=0$，代入得：
$$1 = \chi(S_1) + \chi(S_2)$$

接下来看带边界流形的欧拉示性数公式：

• 对于可定向的带边界二维流形，$\chi(M)=2-2g-b$（$g$是亏格，$b$是边界组件数，均为非负整数）。两个可定向子集的欧拉示性数之和是$4-2(g_1+g_2)-2b$，这是一个偶数，但我们需要的和是1（奇数），矛盾！所以不可能两个都是可定向的。
• 对于不可定向的带边界二维流形，$\chi(M)=2-g-b$（$g$是不可定向亏格，$g\geq1$，$g=0$即为可定向）。如果两个都是不可定向的，它们的欧拉示性数之和为$4-(g_1+g_2)-2b$，要等于1的话需要$g_1+g_2+2b=3$。但$g_1,g_2\geq1$，最小和为$1+1+0=2$，结合$2b$是偶数的性质，必然会出现其中一个子集的$g=0$（即可定向），矛盾；若$b=0$则意味着两个子集无公共边界，$\mathbb{RP}^2$会变成两个不连通流形的并，这显然不可能。

所以唯一可能的情况就是：一个子集可定向，另一个不可定向。最直观的例子就是：在$\mathbb{RP}^2$中取一个圆盘（可定向），剩下的部分同胚于莫比乌斯带（不可定向），它们的公共边界是一个圆（多边形），完美符合“良态”划分条件。

三个子集的反例：全可定向划分 #

你提到划分成三个子集时答案是否，确实可以做到三个子集都是可定向的。比如，把$\mathbb{RP}^2$看作是圆盘粘合对径点得到的空间，在原圆盘内部画两个不相交的小圆盘，将原圆盘分成三个区域：两个小圆盘，和剩下的带双洞的环形区域。粘合对径点后，这三个区域都是可定向的：两个小圆盘保持可定向，环形区域的内部没有引入不可定向结构，三个子集的公共边界是有限个多边形，完全满足“良态”要求。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Christopher King