求过椭圆$rac{x^2}{100}+rac{(y-12)^2}{75}=1$上点的直线y=ax的最小正斜率n

嗨，我来帮你理清这个问题的解法！你要找的是椭圆$\frac{x^2}{100} + \frac{(y - 12)^2}{75} = 1$上的点落在直线$y=ax$上时，$a$的最小正值。你提到用判别式的方法因为分母数值觉得繁琐，其实一步步拆解下来并没有那么复杂，咱们两种方法都试试，确保结果准确：

方法一：判别式法（规范步骤） #

1. 代入直线方程到椭圆
   因为点$p$同时在椭圆和直线上，把$y=ax$代入椭圆方程：
   $$\frac{x^2}{100} + \frac{(ax - 12)^2}{75} = 1$$

2. 整理成二次方程
   两边同乘100和75的最小公倍数300消去分母：
   $$3x^2 + 4(ax - 12)^2 = 300$$
   展开并合并同类项，得到关于$x$的一元二次方程：
   $$(3 + 4a^2)x2 - 96ax + 276 = 0$$

3. 利用判别式求极值
   当直线与椭圆相切时，$a$取得极值（这里我们要最小的正值），此时判别式$\Delta=0$。对于二次方程$Ax^{2+Bx+C=0$，判别式$\Delta=B}2-4AC$，代入对应系数：
   $$(-96a)^2 - 4 \times (3 + 4a^2) \times 276 = 0$$
   展开计算：
   $$9216a^2 - 1104(3 + 4a^2) = 0$$
   $$9216a^2 - 3312 - 4416a^2 = 0$$
   $$4800a^2 = 3312$$
   约分后得到：
   $$a^2 = \frac{69}{100}$$
   取正根就是最小的正值：
   $$a = \frac{\sqrt{69}}{10}$$

方法二：椭圆参数方程法（更直观） #

椭圆的参数方程可以设为：
$$x = 10\cos\theta, \quad y = 12 + 5\sqrt{3}\sin\theta$$
因为点在直线$y=ax$上，所以$a = \frac{y}{x} = \frac{12 + 5\sqrt{3}\sin\theta}{10\cos\theta}$。

对$a(\theta)$求导找极值点，令导数分子为0（分母不为0），最终解得：
$$\sin\theta = -\frac{5\sqrt{3}}{12}, \quad \cos\theta = \frac{\sqrt{69}}{12}$$
代入$a$的表达式计算，同样得到：
$$a = \frac{\sqrt{69}}{10}$$

两种方法结果一致，所以$a$的最小正值$n$就是$\frac{\sqrt{69}}{10}$，如果需要数值近似的话大概是0.8307。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user343705