求解曲线族$y^2 + 2cx = c^2$的正交轨线遇问题，求错误排查

首先，先肯定你前面消去参数$c$得到原曲线族微分方程的步骤是完全正确的：

原曲线族：$y^2 + 2cx = c^2$
求导得：$2y \frac{dy}{dx} + 2c = 0 \implies c = -y \frac{dy}{dx}$
代入原方程整理：$y^2 - 2yx\frac{dy}{dx} = y^2 \left(\frac{dy}{dx}\right)^2$

你的问题出在正交轨线的斜率替换规则上：你错误地把原方程中的$\frac{dy}{dx}$直接换成了$\frac{dx}{dy}$，但正交轨线的斜率应该是原曲线斜率的负倒数，而不是倒数。

正确的正交轨线微分方程推导 #

正交曲线的斜率满足：若原曲线在某点的斜率为$k = \frac{dy}{dx}$，则正交轨线在该点的斜率$k_{\perp} = -\frac{1}{k}$，也就是要把原微分方程中的$\frac{dy}{dx}$替换为$-\frac{1}{\frac{dy}{dx}}$（或者写成$-\frac{dx}{dy}$）。

把原微分方程中的$\frac{dy}{dx}$记为$y'$，替换为$-\frac{1}{y'}$后，方程变为：
$$y^2 - 2yx\left(-\frac{1}{y'}\right) = y^2 \left(-\frac{1}{y'}\right)^2$$
整理一下：
$$y^2 + \frac{2xy}{y'} = \frac{y^2}{(y')2}$$
两边同乘$(y')^2$消去分母：
$$y^2 (y')^2 + 2xy y' - y^2 = 0$$

求解这个正交轨线微分方程 #

令$p = y' = \frac{dy}{dx}$，方程变为关于$p$的二次方程：
$$y^2 p^2 + 2xy p - y^2 = 0$$
用求根公式解$p$：
$$p = \frac{-2xy \pm \sqrt{(2xy)^2 + 4y^2 \cdot y^2}}{2y2}$$
化简根号内的项：$\sqrt{4x^2y2 + 4y^4} = 2y\sqrt{x^2 + y^2}$，代入后得：
$$p = \frac{-x \pm \sqrt{x^2 + y^2}}{y}$$

我们取正号的情况来求解（负号的情况最终会得到等价的曲线族）：
$$\frac{dy}{dx} = \frac{-x + \sqrt{x^2 + y^2}}{y}$$
这是齐次微分方程，令$u = \frac{y}{x}$（即$y = ux$），则$\frac{dy}{dx} = u + x\frac{du}{dx}$，代入方程：
$$u + x\frac{du}{dx} = \frac{-1 + \sqrt{1 + u^2}}{u}$$
整理分离变量：
$$\frac{u}{\sqrt{1 + u^2}(1 - \sqrt{1 + u^2})}du = \frac{dx}{x}$$
令$t = \sqrt{1 + u^2}$，则$t dt = u du$，左边积分变为：
$$-\int \frac{dt}{t - 1} = \int \frac{dx}{x}$$
积分后整理：
$$-\ln|t - 1| = \ln|x| + C$$
代回$t = \sqrt{1 + u^2}$和$u = \frac{y}{x}$，最终化简可得：
$$y^2 = 2Cx + C^2$$
这就是题目给出的正确答案。

总结你的错误点 #

你在替换正交斜率时，只把$\frac{dy}{dx}$换成了$\frac{dx}{dy}$（也就是倒数），但漏掉了负号。正交轨线的斜率是原斜率的负倒数，不是倒数，这一步的错误导致后续方程无法得到正确解。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Alina Way