函数$f:\mathbb{R}→S^1$的连续性与逆映射局部连续性证明问询

没问题，我来一步步帮你搞定这两个证明点：

咱们用ε-δ定义来证最直接：
对于任意$x_0 \in \mathbb{R}$，任给$\varepsilon > 0$，我们需要找到一个$\delta > 0$，使得当$|x - x_0| < \delta$时，$|f(x) - f(x_0)| < \varepsilon$。

先计算$f(x)-f(x_0)$的模长：
$$
|f(x)-f(x_0)| = |\exp(ix) - \exp(ix_0)| = |\exp(ix_0)(\exp(i(x-x_0)) - 1)|
$$
因为$|\exp(ix_0)| = 1$（复数模长的性质），所以上式简化为$|\exp(i\theta) - 1|$，其中$\theta = x - x_0$。

再把指数函数展开成三角形式：$\exp(i\theta) = \cos\theta + i\sin\theta$，所以：
$$
|\exp(i\theta)-1| = |(\cos\theta - 1) + i\sin\theta| = \sqrt{(\cos\theta - 1)^2 + \sin^2\theta}
$$
化简根号里的部分：$(\cos^2\theta - 2\cos\theta + 1) + \sin^2\theta = 2(1 - \cos\theta) = 4\sin^2(\theta/2)$，所以模长等于$2|\sin(\theta/2)|$。

我们知道对所有实数$t$，$|\sin t| \leq |t|$，所以$2|\sin(\theta/2)| \leq 2 \cdot |\theta/2| = |\theta| = |x - x_0|$。

那现在取$\delta = \varepsilon$，当$|x - x_0| < \delta$时，$|f(x)-f(x_0)| \leq |x - x_0| < \varepsilon$，完全满足连续的定义。

当然你也可以用复合函数的思路：$f(x)$是$x \mapsto ix$（线性连续映射）和$\mathbb{C}$上的指数函数（连续）的复合，连续函数的复合还是连续的，这样证更快捷。

首先得明确：$f$不是单射（因为$f(x+2\pi)=f(x)$），所以全局逆映射不存在，但局部上我们可以找到每个点的开邻域，使得$f$在某个区间上的限制是双射，且这个双射的逆是连续的。

具体步骤如下：

1. 任取$z_0 = \exp(ix_0) \in S^1$，定义$U = S^1 \setminus {-z_0}$（也就是去掉$z_0$的对径点的圆），$U$是$S^{1$中的开集（因为$S}1$去掉单点是开集，符合子空间拓扑的定义）。

2. 考虑区间$I = (x_0 - \pi, x_0 + \pi)$，证明$f$在$I$上的限制$g = f|_I: I \to U$是双射：

   • 满射：对任意$z \in U$，$z = \exp(ix)$，因为$z \neq -z_0$，所以$x \not\equiv x_0 + \pi \pmod{2\pi}$，因此可以取$x \in I$，所以$g$是满射。
   • 单射：假设$x_1, x_2 \in I$且$g(x_1)=g(x_2)$，则$\exp(i(x_1-x_2))=1$，即$x_1 - x_2 = 2k\pi$，$k \in \mathbb{Z}$。但$|x_1 - x_2| < 2\pi$（因为$I$长度是$2\pi$），所以$k=0$，即$x_1=x_2$，单射成立。

3. 证明$g^{-1}: U \to I$连续：
   还是用ε-δ定义：任取$x_0 = g^{-1}(z_0)$，任给$\varepsilon > 0$，我们需要找$\delta > 0$，当$|z - z_0| < \delta$时，$|g^{-1}(z) - x_0| < \varepsilon$。

   令$z = \exp(ix)$，$x \in I$，则$|z - z_0| = 2|\sin((x - x_0)/2)|$（和之前的计算一样）。
   注意在$t \in (-\pi, \pi)$时，函数$t \mapsto 2|\sin(t/2)|$是严格递增的（因为$t/2 \in (-\pi/2, \pi/2)$，$\sin$在这个区间严格递增，绝对值后在$(0, \pi)$上也严格递增），所以它有连续的逆函数。

   取$\delta = 2\sin(\varepsilon/2)$，当$|z - z_0| < \delta$时：
   $$
   2|\sin((x - x_0)/2)| < 2\sin(\varepsilon/2)
   $$
   因为$(x - x_0) \in (-\pi, \pi)$，所以$|(x - x_0)/2| < \pi/2$，此时$\sin$是非负且严格递增的，因此$|(x - x_0)/2| < \varepsilon/2$，即$|x - x_0| < \varepsilon$，完全满足连续的定义。

   换句话说，$g$是连续的双射，且把$I$中的开集映射到$U$中的开集（开映射），所以$g$是同胚，其逆自然连续。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者abcdmath