技术问询：给定条件下证明复数$rac{m-w}{z-w}$为非实数

我来帮你一步步拆解这个证明题，保证逻辑清晰不疏漏～

步骤1：先计算分母 ( z - w ) #

已知 ( z = -1 + im )，( w = -1 - im )，直接代入相减：

z - w = (-1 + im) - (-1 - im) = 2im

因为m是非零复数，所以分母 ( 2im ≠ 0 )，分式有意义。

步骤2：计算分子 ( m - w ) #

把w的表达式代入分子：

m - w = m - (-1 - im) = m + 1 + im = (1 + m) + im

步骤3：化简整个分式 #

将分子分母代入分式，拆分分子简化计算：
[
\frac{m - w}{z - w} = \frac{(1 + m) + im}{2im} = \frac{1 + m}{2im} + \frac{im}{2im}
]
第二项可以直接约分得到 ( \frac{1}{2} )，式子进一步简化为：
[
\frac{1 + m}{2im} + \frac{1}{2}
]
接下来处理第一项，我们把分母的i移到分子（乘以-i，利用 ( i \times (-i) = 1 ) 的性质）：
[
\frac{1 + m}{2im} = \frac{(1 + m)(-i)}{2im \times (-i)} = \frac{-i(1 + m)}{2m}
]
最终整个分式化简为：
[
\frac{1}{2} - \frac{i(1 + m)}{2m}
]

步骤4：分析复数的虚实性 #

一个复数是实数的充要条件是它的虚部为0。观察化简结果：

• 实部是固定的 ( \frac{1}{2} )
• 虚部的系数是 ( -\frac{1 + m}{2m} )（虚部由这个系数乘以i构成）

要让这个复数是实数，必须满足虚部系数为0，即：
[
-\frac{1 + m}{2m} = 0
]
因为m是非零复数，分母 ( 2m ≠ 0 )，所以只有分子 ( 1 + m = 0 ) 时，也就是 ( m = -1 )，虚部才为0，此时分式等于 ( \frac{1}{2} )（实数）。

结论 #

当 ( m ) 是非零且不等于-1的复数时，( \frac{m-w}{z-w} ) 的虚部不为0，因此它是非实数。如果 ( m = -1 )，这个分式是实数（( \frac{1}{2} )），这是唯一的特例。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者fuzzypixelz