求证非零标量k下线性映射F与kF的核和像相同（聚焦像的证明）

给定线性映射 $F: V \to U$，$k$ 是非零标量，我们要证明 $\ker(F) = \ker(kF)$ 且 $\text{Im}(F) = \text{Im}(kF)$。你已经掌握了核的证明，那我重点把像的部分讲透，先从核心定义入手！

一、核相同的证明（快速回顾） #

先快速过一遍核的部分帮你巩固：

• 核的定义：$\ker(F) = {v \in V \mid F(v) = 0_U}$，$\ker(kF) = {v \in V \mid (kF)(v) = 0_U}$。
• 因为 $k \neq 0$，标量域里非零元有逆元，所以 $(kF)(v) = kF(v) = 0_U$ 等价于 $F(v) = k^{-1} \cdot 0_U = 0_U$，直接推出两个核完全相等。

二、像相同的证明（详细拆解） #

先明确最关键的像的定义 #

线性映射 $T: V \to U$ 的像（记为 $\text{Im}(T)$），是**$U$ 中所有能被 $T$ 映射到的元素的集合**，用数学语言写就是：
$$\text{Im}(T) = {u \in U \mid \exists v \in V, \text{使得 } T(v) = u}$$
要证明两个集合相等，常规操作是证明互相包含——也就是证 $\text{Im}(F) \subseteq \text{Im}(kF)$ 和 $\text{Im}(kF) \subseteq \text{Im}(F)$ 同时成立。

1. 证明 $\text{Im}(F) \subseteq \text{Im}(kF)$

任取一个元素 $u \in \text{Im}(F)$，根据像的定义，一定存在某个 $v \in V$ 使得 $F(v) = u$。
因为 $k \neq 0$，我们可以构造一个新向量 $v' = k^{-1}v$（$v'$ 肯定在 $V$ 里，毕竟向量空间对标量乘法封闭）。
现在计算 $(kF)(v')$：

• 根据线性映射标量乘法的定义，$(kF)(v') = k \cdot F(v')$；
• 又因为 $F$ 是线性映射，满足 $F(cv) = cF(v)$，所以 $F(v') = F(k^{-1}v) = k^{-1}F(v) = k^{-1}u$；
• 代入后得到：$(kF)(v') = k \cdot (k^{-1}u) = u$。

这就说明，存在 $v' \in V$ 使得 $(kF)(v') = u$，所以 $u$ 属于 $\text{Im}(kF)$。由 $u$ 的任意性，$\text{Im}(F) \subseteq \text{Im}(kF)$ 成立。

2. 证明 $\text{Im}(kF) \subseteq \text{Im}(F)$

再任取一个元素 $u \in \text{Im}(kF)$，根据像的定义，存在 $v \in V$ 使得 $(kF)(v) = u$。
先展开左边：$(kF)(v) = k \cdot F(v) = u$。
因为 $k \neq 0$，给等式两边乘 $k^{-1}$，得到 $F(v) = k^{-1}u$。
现在换个角度看 $u$：$u = k \cdot F(v) = F(kv)$——这一步用到了线性映射的标量乘法性质（$F(kv) = kF(v)$）。
而 $kv$ 是 $V$ 中的向量（向量空间对标量乘法封闭），这就意味着存在 $kv \in V$ 使得 $F(kv) = u$，所以 $u$ 属于 $\text{Im}(F)$。由 $u$ 的任意性，$\text{Im}(kF) \subseteq \text{Im}(F)$ 成立。

像的证明核心要点总结 #

• 必须紧扣像的定义：始终围绕“存在某个 $V$ 中的向量，能被映射到目标元素”这个核心逻辑；
• 活用两个关键性质：线性映射的标量乘法线性性（$F(cv)=cF(v)$），以及非零标量存在逆元（这是我们能构造向量、变形等式的关键前提）。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Growing My Roots