是否存在满足特定条件的f(z),g(z)使f(exp(z))/f(z)=g(z)有闭合解？

咱们直接给出结论：存在符合所有条件的解析非常数函数对$f(z)$和$g(z)$，下面结合你的类比案例，给出具体例子并逐一验证条件：

首先回顾你提到的参考场景：

当把$\exp(z)$替换为$z^{2$时，取$A(z)=z-1$，$B(z)=z+1$，满足$\frac{A(z}2)}{A(z)} = B(z)$，且$A、B$均为解析非常数函数，$A(z)$的零点$z=1$处$B(z)$解析，同时$B(z)$的形式比原始分式更简洁。

回到原问题，我们构造这样一对函数：

• 令$f(z) = z - 1$（这是一个非常数整函数，显然解析）
• 令$g(z) = \frac{\exp(z) - 1}{z - 1}$，注意到$z=1$是$g(z)$的可去奇点（极限为$\exp(1)$），我们将$g(1)$定义为$\exp(1)$，这样$g(z)$就成为一个整函数（全平面解析），且显然非常数。

现在逐一验证条件：

• 条件A：$\frac{f(\exp(z))}{f(z)} = \frac{\exp(z) - 1}{z - 1} = g(z)$，完全成立。
• 条件B：$f(z)=z-1$是解析非常数函数；$g(z)$经过奇点修补后是整函数，且显然非常数，满足要求。
• 条件C：$f(z)$的唯一零点是$z=1$，而我们已经通过定义修补了$g(z)$在$z=1$处的可去奇点，$g(z)$在该点解析，符合条件。
• 条件D：$g(z)$的表达式直接是一个简洁的初等分式（且可视为指数函数的差商形式），比直接写出$\frac{f(\exp(z))}{f(z)}$的原始展开更简洁，满足要求。

如果想要更一般化的例子，还可以取$f(z) = e^{kz} - c$（其中$k$为非零常数，$c$为非1常数），对应的$g(z) = \frac{e^{k\exp(z)} - c}{e^{kz} - c}$。同样，$f(z)$的零点处$g(z)$存在有限极限，可通过定义修补为解析点，且$g(z)$形式简洁，满足所有条件。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者mick