求证命题A的真假：n>1时，n为素数的必要条件是2ⁿ-1为素数

咱们先把命题A的逻辑关系拆解清楚，别混淆了必要条件的定义：

命题A：$2^n - 1$为素数是n为素数的必要条件

根据必要条件的逻辑规则：如果X是Y的必要条件，那么Y成立时X必须成立（也就是逻辑上的 $Y \Rightarrow X$）。所以命题A翻译成直白的话就是：

只要n是素数，那么$2^n - 1$一定是素数

接下来分两部分看：

1. 提示公式的作用——证明逆命题为真 #

你拿到的提示公式：
$(2^a)^b - 1 = (2^a - 1)[(2^a)^{b-1} + (2^a)^{b-2} +\ldots+ 2^a + 1]$
这个公式其实是用来证明命题A的逆命题（“若$2^n-1$是素数，则n必为素数”），而这个逆命题是真命题，证明过程如下：

• 假设n是合数，那必然能拆成n=a×b，其中a、b都是大于1的整数
• 把n=a×b代入公式，得到$2^n - 1 = (2^a)b - 1 = (2^a - 1) × [(2^a){b-1} + (2^a){b-2} + \dots + 2^a + 1]$
• 这里$2^a - 1$因为a>1，所以至少是3；后面的求和项有b项（b>1），每一项都大于等于1，所以求和结果至少是$2^a + 1 ≥ 5$，两者都是大于1的整数
• 这就说明$2^n -1$是两个大于1的数的乘积，是合数，和“$2^n-1$是素数”的前提矛盾
• 因此，若$2^n-1$是素数，n必须是素数

2. 命题A本身是假命题 #

命题A的结论是“n是素数则$2^n-1$必为素数”，但我们能找到直接的反例：

• 取n=11，这是一个素数，计算$2^{11} -1 = 2047$
• 而2047可以分解为$23 × 89$，明显是合数，不是素数
• 这个反例直接推翻了命题A的结论

所以最终结论：命题A是假命题，它的逆命题才是真命题，你拿到的提示公式是用来证明逆命题的，而非命题A本身。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者xChesster