正项递推数列{aₙ}极限存在性证明求助（非单调情形）

嘿，这个问题我之前也琢磨过，确实直接套单调有界准则行不通——这个数列大概率是交替震荡着收敛的，给你几个实用的思路方向：

思路1：拆分奇偶子列，分别证明单调有界 #

这是非单调数列收敛证明的常用操作：

• 先把原数列拆成奇数项子列 {a_{2k-1}} 和偶数项子列 {a_{2k}}
• 利用原递推式 a_{n+1}=rac{2}{a_n+a_{n-1}} 推导子列的递推关系：比如代入得到 a_{n+3} 和 a_n 的关联式，进而证明奇数项子列和偶数项子列各自单调（一个递增、一个递减，或者反过来，取决于初始值）
• 结合数列的有界性：先证所有 a_n>0，再用递推式推导出所有项都落在某个固定区间内，比如设 M=max(a₁,a₂)，m=min(a₁,a₂)，则所有 a_n 都在 [1/M, 1/m] 中，可以得到两个子列都收敛
• 最后设两个子列的极限分别为 L 和 M，代入原递推式可证 L=M，从而原数列极限存在

思路2：用柯西收敛准则证明 #

柯西准则不需要依赖单调性，只要证明数列是柯西序列就行：

• 先估计相邻项差值的上界：由递推式可得

  |a_{n+1} - a_n| = \left|rac{2}{a_n+a_{n-1}} - rac{2}{a_{n-1}+a_{n-2}}
  

ight| = rac{2|a_n - a_{n-2}|}{(a_n+a_{n-1})(a_{n-1}+a_{n-2})}

- 结合数列的有界性，分母有固定下界，因此可以推出 `|a_{n+1}-a_n| ≤ k|a_n - a_{n-2}|`（其中 `k<1`）
- 递推下去就能得到，当n足够大时，任意两项的差值可以任意小，满足柯西收敛准则的条件，从而证明数列收敛

## 思路3：构造辅助数列或寻找不变量
可以尝试构造关联数列来简化问题：
- 从原递推式 `a_{n+1}(a_n+a_{n-1})=2` 出发，写出 `a_{n+2}(a_{n+1}+a_n)=2`，两式相减整理后得到相邻项差值的递推关系：

a_{n+2} - a_n = -rac{a_{n+1}(a_{n+1}-a_{n-1})}{a_n}

- 这个式子能帮你看出奇偶子列的单调性规律，进而回到思路1的证明路径

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Roman83